算法学习——莫比乌斯反演

Posted 2020-09-15

。。

省选GG了，我果然还是太菜了。。

突然想讲莫比乌斯反演了

那就讲吧！

首先我们看一个等式——

 

（d|n表示d是n的约束）

然后呢，转换一下

 

于是，我们就发现！

 

没错！F的系数是有规律的！

规律is here！

公式：

 

这个有什么卵用呢?

假如说有一道题

F(n)可以很simple的求出来而求f(n)就比较difficult了，该怎么办呢？

然后就可以用上面的式子了

是莫比乌斯函数，十分有趣

定义如下：

若d=1，则=1

若d=p1*p2*p3...*pk,且pi为互异素数，则=(-1)^k

否则=0

然后，莫比乌斯函数有一些奇(luan)奇(qi)怪(ba)怪(zao)的性质——

1、

 

这个嘛。。二项式定理算一下就推出来了

2、是积性函数。什么是积性函数？即对于所有互质的x,y，f(x)*f(y)=f(x*y)，嗯，积性函数的前缀和也是积性函数。

于是，你就能看到莫比乌斯反演的神奇之处了！

来看一道题

Bzoj2301 Problem b

题意

给你T组a,b,c,d,k求(a<=x<=b,c<=y<=d)有多少组gcd(x,y)=k

T<=50000,a<=b<=50000,c<=d<=50000

设p[x][y]为(1<=a<=x,1<=b<=y)中，gcd(a,b)=1的个数

所以，ans=p[b/k][d/k]-p[b/k][c/k]-p[a/k][d/k]+p[a/k][b/k]（容斥233，可以抽象成一个平面）

然后，设f(i)为(1<=x<=n,1<=y<=m)gcd(x,y)==i的个数

发现——很难求。。但我们可以设F(i)为(1<=x<=n,1<=y<=m)i|gcd(x,y)的个数

这个求起来就非常simple了！

很显然。。

然后，根据莫比乌斯反演的公式——

就可以做了！

哦对了，莫比乌斯函数是可以线性筛出来的，那个叫杜教筛，可以baidu一下

推一下式子——

然后。。暴力枚举k的倍数。。就可以做了。

But！O(n)是GG的！所以我们要加优化！

仔细一看，发现有个取值，所以有个取值，只要暴力枚举这些取值，维护一下前缀和就好了

最后，顺便%一下PoPoQQQ：https://wenku.baidu.com/view/fbec9c63ba1aa8114431d9ac.html

End.