最短路径—Dijkstra算法

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最短路径—Dijkstra算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,如数据结构,图论,运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述:在无向图 G=(V,E) 中,假设每条边 E[i] 的长度为 w[i],找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。(单源最短路径)

 

2.算法描述

1)算法思想:设G=(V,E)是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示,初始时S中只有一个源点,以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中,算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示),按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中,总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外,每个顶点对应一个距离,S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度,U中的顶点的距离,是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤:

a.初始时,S只包含源点,即S={v},v的距离为0。U包含除v外的其他顶点,即:U={其余顶点},若v与U中顶点u有边,则<u,v>正常有权值,若u不是v的出边邻接点,则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。

c.以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

看图:

技术分享

 

代码如下:

#!/usr/bin/env python
#encoding=utf8
#dijkstra.py
 
I = 10000
MAXVEX = 9
ShortPathTable = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
Pathmatrix = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
G = [
[I,1,5,I,I,I,I,I,I],
[1,I,3,7,5,I,I,I,I],
[5,3,I,I,1,7,I,I,I],
[I,7,I,I,2,I,3,I,I],
[I,5,1,2,I,3,6,9,I],
[I,I,7,3,I,I,I,5,I],
[I,I,I,3,6,I,I,2,7],
[I,I,I,I,9,5,2,I,4],
[I,I,I,I,I,I,7,4,I],
]
 
# print roadPath
 
#djkstra algrithm
def dijkstra(G,v0,Pathmatrix,ShortPathTable):
     final = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
     
     for v in xrange(MAXVEX):
          final[v] = 0
          ShortPathTable[v] = G[v0][v]
          Pathmatrix[v] = 0
     ShortPathTable[v0] = 0;
     final[v0] = 1
     
     for v in xrange(1,9):
          minPath = I
          for w in xrange(9):
               if final[w] != 1 and ShortPathTable[w] < minPath:
                    k = w
                    minPath = ShortPathTable[w]
 
          final[k] = 1
 
          for w in xrange(9):
               # 当前最短路径的后驱和与前一个节点
               if final[w] != 1 and minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]:
                    ShortPathTable[w] = minPath+G[k][w]
                    Pathmatrix[w] = k
 
dijkstra(G,0, Pathmatrix, ShortPathTable)
 
print ShortPathTable
print Pathmatrix

  

我解释一下这里面的变量的作用:G:这个指向的是无向图的存储数组,V0是程序的入口节点,Pathmatrix:存储的最短路径的序列(也就是从V0到任何一个点的最短路径,需要通过哪些节点),ShortPathTable:到某个点的最短路径的距离,final :最短路径状态标志,如果找到了,则这个节点将被置成1,循环的时候会跳过这些点.

先介绍一下这个算法里的几个循环是干什么用的:

1、 第一个循环,初始化该节点到其余节点的路径,也就是把矩阵的第一行数据复制到ShortPathTable(这个变量很重要,每次大循环都以它为基础),Pathmatrix里的值全部置零。

2、 第二个循环,这个大循环才是算法的真正实施,每一次循环都确保能找到到某个点的最短路径。

3、第三个循环,属于第二个循环的内部循环,每次执行,从未找到最短路径的节点中,找到距离最短的那个(ShortPathTable 当中数值最小的那个)。

4、第四个循环,属于第二个循环的内部循环,更新符合条件minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]  的值(minPath 是第三个循环找到的数值最小的那个),并将该值更新到ShortPathTable里面,最后再更新Pathmatrix,即到达w点,对应的前驱结点。

 

第二个循环,才是核心的循环。每次遍历都能找到一个对应的最短路径。

 

下一步,我看看调试执行的过程。其实,最难理解的地方,就是执行过程如何与代码的执行结合到一起的。

 

开始执行,第一个循环结束后,看Pathmatrix,ShortPathTab,final的值:

ShortPathTable[v0] = 0;
final[v0] = 1

这两个初始化的执行,v0到自身的距离,已经找到,所以final[1] 的值被置成1,ShortPathTable[1]的值被置成0(说明v0到自身的距离为0). 初始化流程结束。

这一步才是真正体现智慧的地方。以k为基准,扫描与k直接相连的节点的距离在加上k到前驱结点的距离,与v0节点到与k直连节点的距离进行比较,也就是当这个条件minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]成立时,将这个距离更新到ShortPathTable。简单点说,让v0节点到各点的距离,在通过了vk节点后,做一次更新,比如,v0不能直接到v4,但是在通过了v1节点后就到v4了。不过这个时候,还做了另外一件事, v0与v2是直连的,距离为5,但是在通过了v1以后,发现v1到v2的距离在加上v1到v0的距离比v0直接到v2的距离要段,所以这一步操作也会把这个距离给替换掉。Pathmatrix[w]  = k ,这行代码是说,要到w这个节点,需要通过k点。

剩下的步骤,继续执行这个循环,直到遍历完所有的节点。结束后,Pathmatrix 存储的是节点路径,ShortPathTab 存储节点路径的距离,可以根据这两个变量得到v0到所有节点的最短距离。

 

以上是关于最短路径—Dijkstra算法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

最短路径算法(Dijkstra)

最短路径 - Dijkstra算法

最短路径算法-Dijkstra

最短路径-Dijkstra算法(转载)

单源最短路径Dijkstra算法的思想详细步骤代码

最短路径 Dijkstra 算法为啥边上的权值非负阿?