最短路径—Dijkstra算法

Posted 2020-06-19 天道酬勤

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

看图：

 

代码如下：

#!/usr/bin/env python
#encoding=utf8
#dijkstra.py
 
I = 10000
MAXVEX = 9
ShortPathTable = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
Pathmatrix = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
G = [
[I,1,5,I,I,I,I,I,I],
[1,I,3,7,5,I,I,I,I],
[5,3,I,I,1,7,I,I,I],
[I,7,I,I,2,I,3,I,I],
[I,5,1,2,I,3,6,9,I],
[I,I,7,3,I,I,I,5,I],
[I,I,I,3,6,I,I,2,7],
[I,I,I,I,9,5,2,I,4],
[I,I,I,I,I,I,7,4,I],
]
 
# print roadPath
 
#djkstra algrithm
def dijkstra(G,v0,Pathmatrix,ShortPathTable):
     final = [0,0,0,0,0,0,0,0,0]
     
     for v in xrange(MAXVEX):
          final[v] = 0
          ShortPathTable[v] = G[v0][v]
          Pathmatrix[v] = 0
     ShortPathTable[v0] = 0;
     final[v0] = 1
     
     for v in xrange(1,9):
          minPath = I
          for w in xrange(9):
               if final[w] != 1 and ShortPathTable[w] < minPath:
                    k = w
                    minPath = ShortPathTable[w]
 
          final[k] = 1
 
          for w in xrange(9):
               # 当前最短路径的后驱和与前一个节点
               if final[w] != 1 and minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]:
                    ShortPathTable[w] = minPath+G[k][w]
                    Pathmatrix[w] = k
 
dijkstra(G,0, Pathmatrix, ShortPathTable)
 
print ShortPathTable
print Pathmatrix

　　

我解释一下这里面的变量的作用：G：这个指向的是无向图的存储数组，V0是程序的入口节点，Pathmatrix：存储的最短路径的序列（也就是从V0到任何一个点的最短路径，需要通过哪些节点），ShortPathTable：到某个点的最短路径的距离，final ：最短路径状态标志，如果找到了，则这个节点将被置成1，循环的时候会跳过这些点.

先介绍一下这个算法里的几个循环是干什么用的：

1、 第一个循环，初始化该节点到其余节点的路径，也就是把矩阵的第一行数据复制到ShortPathTable（这个变量很重要，每次大循环都以它为基础），Pathmatrix里的值全部置零。

2、 第二个循环，这个大循环才是算法的真正实施，每一次循环都确保能找到到某个点的最短路径。

3、第三个循环，属于第二个循环的内部循环，每次执行，从未找到最短路径的节点中，找到距离最短的那个(ShortPathTable 当中数值最小的那个)。

4、第四个循环，属于第二个循环的内部循环，更新符合条件minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]  的值（minPath 是第三个循环找到的数值最小的那个），并将该值更新到ShortPathTable里面，最后再更新Pathmatrix，即到达w点，对应的前驱结点。

 

第二个循环，才是核心的循环。每次遍历都能找到一个对应的最短路径。

 

下一步，我看看调试执行的过程。其实，最难理解的地方，就是执行过程如何与代码的执行结合到一起的。

 

开始执行，第一个循环结束后，看Pathmatrix,ShortPathTab,final的值：

ShortPathTable[v0] = 0;
final[v0] = 1

这两个初始化的执行，v0到自身的距离，已经找到，所以final[1] 的值被置成1，ShortPathTable[1]的值被置成0（说明v0到自身的距离为0）. 初始化流程结束。

这一步才是真正体现智慧的地方。以k为基准，扫描与k直接相连的节点的距离在加上k到前驱结点的距离，与v0节点到与k直连节点的距离进行比较，也就是当这个条件minPath+G[k][w] < ShortPathTable[w]成立时，将这个距离更新到ShortPathTable。简单点说，让v0节点到各点的距离，在通过了vk节点后，做一次更新，比如，v0不能直接到v4，但是在通过了v1节点后就到v4了。不过这个时候，还做了另外一件事， v0与v2是直连的，距离为5，但是在通过了v1以后，发现v1到v2的距离在加上v1到v0的距离比v0直接到v2的距离要段，所以这一步操作也会把这个距离给替换掉。Pathmatrix[w]  = k ，这行代码是说，要到w这个节点，需要通过k点。

剩下的步骤，继续执行这个循环，直到遍历完所有的节点。结束后，Pathmatrix 存储的是节点路径，ShortPathTab 存储节点路径的距离，可以根据这两个变量得到v0到所有节点的最短距离。