[ NOIP ][ NOIP_2014D1T3 ][ 动态规划 ] 飞扬的小鸟

Posted 2020-09-14

飞扬的小鸟（Flappy Bird)

描述

　　Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度，让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话，便宣告失败。

　　为了简化问题，我们对游戏规则进行了简化和改编：

1. 游戏界面是一个长为 n，高为 m 的二维平面，其中有k 个管道（忽略管道的宽度）。
2. 小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边 任意整数高度位置出发，到达游戏界面最右边时，游戏完成。
3. 小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为 1，竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕，小鸟就会上升一定高度 X，每个单位时间可以点击多次，效果叠加； 如果不点击屏幕，小鸟就会下降一定高度 Y。小鸟位于横坐标方向不同位置时，上 升的高度 X 和下降的高度 Y 可能互不相同。
4. 小鸟高度等于 0 或者小鸟碰到管道时，游戏失败。小鸟高度为 m 时，无法再上升。

　　现在，请你判断是否可以完成游戏。如果可以，输出最少点击屏幕数；否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

格式

输入格式

　　第 1 行有 3 个整数 n，m，k，分别表示游戏界面的长度，高度和水管的数量，每两个 整数之间用一个空格隔开；　

　　接下来的 n 行，每行 2 个用一个空格隔开的整数 X 和 Y，依次表示在横坐标位置 0~n-1 上玩家点击屏幕后，小鸟在下一位置上升的高度 X，以及在这个位置上玩家不点击屏幕时， 小鸟在下一位置下降的高度 Y。

　　接下来 k 行，每行 3 个整数 P，L，H，每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道，其中 P 表示管道的横坐标，L 表示此管道缝隙的下边沿高度为 L，H 表示管道缝隙上边沿的高度（输入数据保证 P 各不相同，但不保证按照大小顺序给出）。

输出格式

共两行。

第一行，包含一个整数，如果可以成功完成游戏，则输出 1，否则输出 0。 第二行，包含一个整数，如果第一行为 1，则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数，否则，输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

样例1

样例输入1

10 10 6
3 9
6 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3

 

（第三行 6 9 原为 9 9）

样例输出1

1
6

样例2

样例输入2

10 10 4
1 2
3 1
2 2
1 8
1 8
3 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 0 2
6 7 9
9 1 4
3 8 10

样例输出2

0
3

限制

　　对于 30%的数据：5≤n≤10，5≤m≤10，k=0，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 3 次；

　　对于 50%的数据：5≤n≤20，5≤m≤10，保证存在一组最优解使得同一单位时间最多点击屏幕 3 次；

　　对于 70%的数据：5≤n≤1000，5≤m≤100；

　　对于 100%的数据：5≤n≤10000，5≤m≤1000，0≤k<n，0<X<m，0<Y<m，0<P<n，0≤L<H ≤m，L+1<H。

提示

　　如下图所示，蓝色直线表示小鸟的飞行轨迹，红色直线表示管道。

来源

NOIP2014 提高组 Day1

 

-------------------------------------------------------这里是华丽的分割线------------------------------------------------------------

定义：

　　dp[i][j] 为 小鸟飞到坐标轴第 i 列第 j 行所需要点击的数目的最小值。

　　枚举到了 i （i ∈ 1 ... n ) 和 j ( j ∈ 1 ... m) , 会遇到多个情况的状态转移。

　　dp[i][j] 初始为∞, DOWN[i] : 第i列时自由下落的格子数， UP[i]：点击一下上升的格子数， HIGH[i]：空区域的上限（闭区间）， LOW[i]相反。

情况一：从上一个格子不做操作自由落下

　　当此情况合法时，有以下转移:

　　dp[i][j] = min{dp[i][j], dp[i-1][j+DOWN[i-1]}

情况二：从上一列点击k次后上升

　　此时问题转化为“背包容积为j，如何放无限个‘物品’（一次跳跃）使背包内物品价值最大”，即完全背包问题。

　　dp[i][j] = min{dp[i][j], min{dp[i-1][j-UP[i-1]] + 1, dp[i][j-UP[i-1]] + 1}}

特殊情况： j 可能在屏幕最顶上(j == m)，这时 i-1时的一段连续区间均转移到这个状态

　　dp[i][m] = min{dp[i][m], min{dp[i-1][j] + 1, dp[i][j] + 1}}  j ∈ (m-UP[i-1] ... m)

其他细节：

　　1.注意记录到当前i的所有柱子之和，当前dp[i][1...m]的最小值是否 < ∞ ：是的话继续，不是的话输出无解跳出即可。

　　2.注意区间开闭，先处理情况二，及时使dp[i][0...LOW[i]-1],dp[i][HIGH[i]+1 ... m] 为∞。

 

//Kvar_ispw17
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 10000 + 10;
const int inf = 0x7f7f7f7f;
int n, m, k, u[maxn], d[maxn], l[maxn], h[maxn], dp[maxn][1000 + 10]; bool kn[maxn];
int main() {
	freopen("bird.in", "r", stdin);
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%d%d", &u[i], &d[i]);
		h[i] = m, l[i] = 1;
	}
	h[n] = m, l[n] = 1;
	for(int i = 0; i < k; i++) {
		int x;
		scanf("%d", &x);
		scanf("%d%d", &l[x], &h[x]);
		kn[x] = 1, l[x]++, h[x]--;
	}
	static int _m;
	int cnt = 0;
	memset(dp, 0, sizeof dp);
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			dp[i][j] = inf;
			if(j - u[i-1] >= 1) dp[i][j] = min(dp[i][j], min(dp[i-1][j - u[i-1]] + 1, dp[i][j - u[i-1]] + 1));
		}
		for(int j = m - u[i-1]; j <= m; j++) dp[i][m] = min(dp[i][m], min(dp[i-1][j] + 1,dp[i][j] + 1));
		for(int j = l[i]; j <= h[i]; j++) if(j + d[i-1] <= m) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j + d[i-1]]);
		for(int j = 0; j < l[i]; j++) dp[i][j] = inf;
		for(int j = h[i] + 1; j <= m; j++) dp[i][j] = inf;
		_m = inf;
		for(int j = 1; j <= m; j++) _m = min(_m, dp[i][j]);
		if(_m >= inf) {
			printf("0\n%d\n", cnt);
			return 0;
		}
		if(kn[i]) cnt++;
	}
	printf("1\n%d\n", _m);
	return 0;
}