百度之星2014~复赛 解题报告~正解The Query on the Tree

Posted 2020-09-14 zhchoutai

声明

   笔者近期意外的发现 笔者的个人站点 http://tiankonguse.com/ 的非常多文章被其他站点转载。可是转载时未声明文章来源或參考自 http://tiankonguse.com/ 站点，因此。笔者加入此条声明。

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前言

昨天写了　The Query on the Tree　的解题报告，可是遗留下一个问题，不能算是完美解决这道题．

由于假设精心构造数据的话。昨天的题解还是会被卡住的．

今天中午睡觉的时候突然想起一个不会被卡住的方法．

可是因为早上玩了一会类似与宠物消消的弱智游戏，于是怎么也停不下来了．

一个下午的时光也浪费在了这个弱智游戏上．

到了晚上，手机最终没电了，于是来写写这道题的完美解决方法．

这样不管怎么构造数据，tiankonguse都不用操心程序超时了．

正文

题意

　　有一棵树。树的每一个点有点权，每次有三种操作：
　　1. Query x 表示查询以x为根的子树的权值和。

　　2. Change x y 表示把x点的权值改为y(0<=y<=100)。
　　3. Root x 表示把x变为根。
　　如今度度熊想请更聪明的你帮助解决问题。

背景

这篇记录和昨天那一篇紧密相连。建议看看那个记录．

传送门（http://tiankonguse.com/record/record.php?

id=673）

背景简述

对于这道题。首先须要对树按１为根优先编号．

编号的时候记录子树的权值和以及子树的编号范围．

这样设置根的一般复杂度是O(1), 改动的一般复杂度是O( log( n ) ), 查询的一般复杂度也是　O( log( n ) ).

改动的最坏复杂度是O( n ), 我们能够使用线段树来优化到O( log( n ) ).

对于查询分了三部分，当中有一部分最坏情况下复杂度也是　O( n ).

当时往二分优化上想了，可是眼下的信息不满足二分的条件，所以二分不了．

二分优化查询

如果眼下查询的是x, root 是根，　y 是x的某个儿子，　root 在　y 的那个子树上．

问题１：我们要二分搜索什么？

我们要搜索y这个节点．

问题２：搜索的序列有递增或递减的特增吗？

我们要搜的区间是　left[x]到　left[root], 当中　left[x]　最小。left[y] 不能确定在那个地方，也不知道　left[y] 的值．

问题三：有人说能够使用欧拉序列加树状数组做这道题，是吗？

欧拉序列是什么呢？

原来欧拉序列也对树dfs编号了。仅仅只是进入每一个儿子的时候都对当前子树根编号。最后结束时再遍一次号，储存的信息貌似非常丰富．

问题四：假设我们也使用欧拉序列或者欧拉序列的思想。能够二分吗？

貌似能够．

由于这时x的每一个儿子前面一定有一个编号是x.

而我们须要的是　root 前面的第一个　x.

又因为　x 是区间内最小值，所以通过二分这个最小值就能够搜到　y 了．

问题五：最坏复杂度怎么呀？

因为须要二分，所以最少是　O( log( n ) ).

每次都须要推断，所以这个我们须要通过线段树来优化。能够优化到　log( n ).

这样综合复杂度就是　O( log( n ) ^ 2 )

问题六：那你能实现吗？

这个当然能够。就是一个二分加线段树．

总结

针对昨天遗留下的问题，这里简单的总结一下解决方法．

遗留的问题是查询的时候。假设root是查询节点x的子孙时，我们须要找到x的某个儿子y，这个儿子y还是root的祖先．

这个查找过程用昨天的方法最坏复杂度是O( n ) 的.

这里我找到一个方法：对树dfs编号的时候，每次在儿子前面都加入一个根节点，即把用根节点把各个儿子为根的子树分开．

这样我们就能够使用二分查找x的儿子y了．

由于root前面第一个编号为x的节点和y前面第一个编号为x的节点是同样的．

并且第一个编号为x的节点的下一个节点就是y节点．

因为x还是整个区间的最小值。所以我们就能够通过二分区间最小值来找到root前面的第一个编号为x的节点了．

代码

二分优化查询(其它的暴力的代码)https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.3.cpp

完整版的代码(两个线段树写为一个了)：https://github.com/tiankonguse/ACM/blob/master/astar/2014/3/2.4.cpp

參考

无