最大连续子序列和

Posted 2020-09-14 给大佬递女装

对于给定的数组 numnum，一个长度为 ss 的连续子序列是指由 num_i,num_{i+1},num_{i+2}\ldots,num_{i+s-1}num?i??,num?i+1??,num?i+2??…,num?i+s−1?? 组成的序列。数组中的元素有可能为正数、负数或 00。你需要从数组中找出元素总和最大的一个连续子序列。

比如，对于数组 1,-3,2,6,-5,81,−3,2,6,−5,8，其最大连续子序列之和是 2+6-5+8=112+6−5+8=11。

对于一段区间内的最大连续子序列和，我们能不能借助分治思想，将这个大问题拆分成两个子问题，然后将两个子问题的解合并为大问题的解呢？

解法

我们记录一段子区间 [x,y][x,y] 的三个结果：从最左端向右的最大连续子序列 [x,y]_{lmax}[x,y]?lmax??、从最右端向左的最大连续子序列 [x,y]_{rmax}[x,y]?rmax??、区间内的最大连续子序列 [x,y]_{max}[x,y]?max??（没有是否靠着某个端点的限制）。

对于区间 [a,b][a,b]，我们可以先递归地求解两个子区间 [a,mid],[mid+1,b][a,mid],[mid+1,b] 的三个值 lmax,rmax,maxlmax,rmax,max。之后，对两个子区间进行合并：

• 对 [a,b][a,b] 区间从左向右循环扫描，计算 [a,b]_{lmax}[a,b]?lmax??；
• 对 [a,b][a,b] 区间从右向左循环扫描，计算 [a,b]_{rmax}[a,b]?rmax??；
• 将 [a,b]_{lmax}[a,b]?lmax??、[a,b] _{rmax}[a,b]?rmax??、[a,mid] _{rmax}+[mid+1,b] _{lmax}[a,mid]?rmax??+[mid+1,b]?lmax??、[a,mid] _{max}[a,mid]?max??、[mid+1,b] _{max}[mid+1,b]?max?? 这五个数的最大值作为 [a,b] _{max}[a,b]?max?? 的结果，结束当前区间的计算。

这个算法和归并排序非常像，时间复杂度也和归并排序一致，是稳定的 \mathcal{O}(nlogn)O(nlogn)。