通过程序了解快速幂和模取幂运算的优化

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了通过程序了解快速幂和模取幂运算的优化相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

建议先看第三个有解释的程序。

快速幂a^b

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     long a,b,result=1;
 7     //a^b
 8     scanf("%ld%ld",&a,&b);
 9     while (b)
10     {
11         if ((b & 1)==1)
12             result=result*a;
13         a=a*a;
14         b>>=1;
15     }
16     printf("%ld\\n",result);
17     return 0;
18 }

 

求a^b,当a固定,b有很多种不同的取值时,可以用这种奇葩但挺高效的方法:

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #include <math.h>
 4 #define max 2147483647
 5 
 6 int main()
 7 {
 8     long a,b,s,i,x[32],y[32];
 9     //a^b
10     scanf("%ld",&a);
11     if (a==1)
12     {
13         while (scanf("%ld",&b)!=EOF)
14             printf("1\\n");
15         return 0;
16     }
17     x[0]=a;
18     y[0]=1;
19     //a^t=max t=loga(max)=log(max)/log(a)
20     //2^i=t i=log2(t)=log(t)/log(2)
21     for (i=1;i<=(long)(log(log(max)/log(a))/log(2));i++)
22     {
23         x[i]=x[i-1]*x[i-1];
24         y[i]=y[i-1]<<1;
25     }
26     while (scanf("%ld",&b)!=EOF)
27     {
28         s=1;
29         while (b)
30         {
31             //求数字为1的最高位
32             i=(long)log(b)/log(2);
33             s*=x[i];
34             b-=y[i];
35         }
36         printf("%ld\\n",s);
37     }
38     return 0;
39 }

 

快速幂求模取幂运算a^b mod c

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     //a^b mod c
 7     long a,b,c,result=1;
 8     scanf("%ld%ld%ld",&a,&b,&c);
 9     while (b)
10     {
11         if ((b &1)==1)
12             result=result*a%c;
13         a=a*a%c;
14         b=b>>1;
15     }
16     printf("%ld\\n",result);
17     return 0;
18 }
19 /*
20 Input:12996 227 37909
21 Output:7775
22 */

 

1.b=b>>1为b除以2,也指二进制下b去掉最后1位

2.a=a*a,执行k次,a(现在)=a(原来)^(2^k)

3.当while循环执行到第k+1次时,当前b的最后一位为原来b的倒数第k位,当该位为1,result乘上a(原来)^(2^k),即为现在a的值

当该位为0,不进行操作。

4.b=2^n*t(n)+2^(n-1)*t(n-1)+…+2^1*t(1)+2^0*t(0)

b以二进制表示,t(r)的值为0或1,r=n,n-1,…,0

5.a^b=a^(2^n)*t(n)  *  a^(2^(n-1))*t(n-1)  * … *  a^1*t(1)  *  a^0*t(0)

       当t(r)为0,该项值为1,可省去

相当于3中所说,当倒数第k位值为1时,结果乘上a^(2^k)

 

 

注意:用位运算,比加减乘除运算速度快很多,所以b=b/2可以改为b=b>>1

 

用法:

1.优化:欧拉函数

2.求结果的末k位,只有加法,减法和乘法

优化:中间结果只保留末k位,因为第k位以前的内容对结果的末k位没有影响

 

以上是关于通过程序了解快速幂和模取幂运算的优化的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

快速幂和慢速乘

知识总结多项式全家桶(快速幂和开根)

高效率的取幂运算,递归解法跟非递归解法

Numpy 基本除法运算和模运算

位黑客和模运算

python3怎么取幂