关于错位排列

Posted 2020-09-13 全人类的绯想天

　　今天弄了一下错位排列，似乎挺简单的。。。

　　错位排列问题的描述大致如下：给定n个信封以及n个信，每个信只能容纳在，第i号信需要放在第i号信封里，现在所有信封的位置都是错误的，求不同的错误方案数。

　　因为第i号信是不在第i号信封里面的，这样的话我们可以模拟出以下n*n的矩阵（其中1表示信封错误的位置不能是此处）：

　　1,0,0,0　　　　不难看出来，对于第一行来说我们有3种不同的方案，在某个点被占据时，其所在的排，列，都没有意义了，这样的话我们可以得到3个新的矩阵：

　　0,1,0,0　　　　1： 0,0,0　　2：0,1,0　　　　3: 0,1,0

　　0,0,1,0　　　　　　0,1,0          0,0,0　　          0,0,1

　　0,0,0,1　　　　　　0,0,1          0,0,1　　          0,0,0

　　显然这三个矩阵我们可以转化成相同的，那么仅对矩阵1来判断，当其占据左上角的点时，其又产生了一个n=2的n*n的满足题意的新矩阵，那么这就是一个子问题，而不占据左上角的点时，其右上角的点可以转化为1，那么又产生了一个n=3的n*n的满足题意的新矩阵，这是另一个子问题。

　　不难得出f[1]=0,f[2]=1;

　　那么对于第一行上的每个可占据的点来说，都有其剩余方案数=f[i-1]+f[i-2]

　　因此我们就得到了递推式：f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])

　　考虑一下这个递推式的普适性：

　　　　只要满足矩阵中所有为1的点，两两之间均不出现在同一列，且每一行上均有且只有一个点为1，那么我们就一定能够将这个矩阵转化为错位排列的标准矩阵

　　因此只要题意满足以下两点，我们均可用该递推式解出

　　　　1、每行、每列上保证有且仅有1个点为1

　　　　2、求方案数