51nod p1201 整数划分

Posted 2020-06-19 Stupidboy is here！

1201 整数划分

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

将N分为若干个不同整数的和，有多少种不同的划分方式，例如：n = 6，{6} {1,5} {2,4} {1,2,3}，共4种。由于数据较大，输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

 

Input

输入1个数N(1 <= N <= 50000)。

Output

输出划分的数量Mod 10^9 + 7。

Input示例

6

Output示例

4

分析：这题关键在于不同的整数
一个包含数字最多的划分必定是1+2+3+....+m == n
这样(m + 1) * m <= 2 * n
可以确定m是O(sqrt(n))级别的
想到这里很容易想到用dp[i][j]表示I这个数分成j的数组成的划分有多少种。
方程为：dp[i][j] = dp[i - j][j] + dp[i - j][j - 1]
前者表示将i - j划分为j个数，每个数加1就是i划分为j个数的方案了。
但是前者这样有i-j的方案+1形成i分为j个数的方案是不完全的，因为没有1
后者则补充了这部分的答案，表示i-j划分为j个数，每个数+1，并且方案再加入一个1这个元素。
由于数不重复，所以1的个数只能为1个。

仍然用java写这些简单的题目。

 1 package p1201;
 2 
 3 import java.util.*;
 4 import java.io.*;
 5 
 6 public class Main
 7 {
 8 
 9     /**
10      * @param args
11      */
12     final static int MOD = (int) 1e9 + 7;
13     public static void main(String[] args)
14     {
15         // TODO Auto-generated method stub
16         Scanner reader = new Scanner(System.in);
17         PrintWriter writer = new PrintWriter(System.out);
18         
19         int n = reader.nextInt();
20         int m = 0;
21         while((1 + m) * m / 2 < n) m++;
22         
23         int [][] dp = new int[n + 1][m + 1];
24         dp[0][0] = 1;
25         for(int i = 1; i <= m; i++)
26             for(int j = (1 + i) * i / 2; j <= n; j++)
27             {
28                 dp[j][i] = (dp[j - i][i] + dp[j - i][i - 1]) % MOD;
29             }
30         
31         int ans = 0;
32         for(int i = 1; i <= m; i++)
33             ans = (ans + dp[n][i]) % MOD;
34         writer.println(ans);
35         
36         reader.close();
37         writer.flush();
38     }
39 
40 }

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