卡尔曼滤波器的简单推导

Posted 2020-09-13 告别年代

本文将简单推导卡尔曼滤波器的预测和更新公式。为了简单，使用标量（一维向量）而不是向量，并且假设系统没有输入。

系统状态的理论值如下：

$x_k=\Phi_k x_{k-1}+w_k$

但是由于过程噪声和观测噪声的存在，系统状态的真实值是不可知的。但我们仍可以根据以下思路，尽量跟踪真实值：

1) 状态转换系数是已知的，因此我们可以根据上一状态得到当前状态的先验估计：

$\hat{x}_k^-=\Phi_k \hat{x}_{k-1}$

2) 将对当前状态的先验估计$\hat{x}_k^-$变换到对输出的先验估计$H\hat{x}_k^-$，求出观测值和先验估计值之间的差：

$\tilde{y}_k=z_k-H\hat{x}_k^-$

$=z_k-H\Phi\hat{x}_{k-1}$

3) 将上一步的差乘上一个系数，作为对先验估计的修正，得到当前状态的后验估计：

$\hat{x}_k=\Phi_k\hat{x}_{k-1}+K_k(z_k-H\Phi_k\hat{x}_{k-1})$

我们的目标是求出上式的系数$K_k$，以使得误差$\tilde{x}_k=x_k-\hat{x}_k$的方差最小。

观测值可以用表示为真实输出与观测噪声的叠加：

$z_k=Hx_k+v_k$

于是误差$\tilde{x}_k$可以表示为如下形式（消去了$z_k$和$x_k^-$）：

$\tilde{x}_k=x_k-\Phi\hat{x}_{k-1}-K_k(Hx_k+v_k-H\Phi_k\hat{x}_{k-1})$

还可以进一步消去$x_k$：

$\tilde{x}_k=\Phi_k x_{k-1} + w_k - \Phi_k \hat{x}_{k-1} - K_k(H\Phi_k x_{k-1} + Hw_k +v_k - H\Phi_k \hat{x}_{k-1})$

上式中，项$x_{k-1}$和$\hat{x}_{k-1}$可以合并，并使用下式进行替换：

$\tilde{x}_{k-1}=x_{k-1}-\hat{x}_{k-1}$

于是我们得到：

$\tilde{x}_k=(1-K_kH)\tilde{x}_{k-1}\Phi_k+(1-K_kH)w_k-K_kv_k$

这样我们就得到了$\tilde{x}_k$递推表达式。