欧几里得？x

Posted 2020-09-12 云深不知处

1、欧几里得算法

带余除法定理：a，b∈Z，其中b>0，存在唯一q及r，使a=bq+r，其中0<=r<b;

辗转相除法(欧几里得算法)依据：(a,b)=(b,r)

C++实现：

 1 #include<iostream>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int main()
 6 
 7 {
 8 
 9        int n,m,r;
10 
11        cin>>m>>n;
12 
13        r=m%n;
14 
15        while(r!=0)
16 
17        {
18 
19               m=n;
20 
21               n=r;
22 
23               r=m%n;
24 
25        }
26 
27        cout<<n;
28 
29 }

 

2.扩展欧几里得算法(裴蜀定理)

其中a，b是任意两个不全为0的整数，则存在两个整数x，y，使得ax+by=(a,b);

当(a,b)=1(互素)时，使ax+by=1;

应用：一次不定方程ax+by=c有解的充分条件是(a,b)|c；(|的意思是整除);

c++实现：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 8 {
 9     if(b==0)
10     {
11         x=1;
12         y=0;
13         return a;
14     }
15     long long r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x;
16     x=y;y=t-y*(a/b);
17     return r; 
18 }
19 
20 int main()
21 {
22     long long a1,b1,x1,y1;
23     cin>>a1>>b1;
24     exgcd(a1,b1,x1,y1);
25     while(x1<0) x1+=b1;
26     cout<<x1;
27     return 0;
28 }