SPOJ CIRU SPOJ VCIRCLE 圆的面积并问题
Posted 逐雪
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了SPOJ CIRU SPOJ VCIRCLE 圆的面积并问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
两道题都是给出若干圆 就面积并,数据规模和精度要求不同。
求圆面积并有两种常见的方法,一种是Simpson积分,另一种是几何法。
在这里给出几何方法。
PS.以下算法基于正方向为逆时针
考虑上图中的蓝色圆,绿色的圆和蓝色的圆交于 A,B 2个交点 ,我们在逆时针系下考虑,那么 可以知道 对于蓝色的圆,它对应的某个 角度区间被覆盖了
假设 区间为 [A, B], 并且角度是按照 圆心到交点的 向量的 极角来定义 (为了方便,我一般都把角度转化到 [0,2pi]区间内) 那么可以知道在这种 标识情况下,可能存在以下情况
这种区间的跨度如何解决呢?实际上十分简单,只需要把[A,B] 拆成 [A, 2PI], [0,B]即可,也就是所谓的添加虚拟点
下面介绍一下 对于我们当前所求任务的实际运用( 利用上述做法)
首先 对于所给的N个圆,我们可以进行去冗杂,表现为:
(1) 去掉被包含(内含 or 内切)的小圆 ()
(2) 去掉相同的圆
枚举一个圆,并对于剩下的圆和它求交点,对于所求的的交点,可以得到一个角度区间 [A,B], 当然区间如果跨越了(例如 [1.5PI, 0.5PI],注意这里是有方向的) 2PI那么需要拆 区间
可以知道,最后区间的并集必然是最后 所有圆和当前圆的交集的一个边界!
于是我们得到互补区间(所谓互补区间就是[0,2PI]内除去区间并的区间,可能有多个)
假设我们先枚举了橙色的圆,那么得到了许多角度区间,可以知道绿色的和蓝色的角度区间是“未被覆盖的”,对于未被覆盖的
圆弧染色!
而对于其他圆,我们也做同样的步骤, 同时把他们未被覆盖的角度区间的圆弧标记为黑色阴影
于是最终的结果就如下图 (染色只考虑圆弧)
通过观察不难发现,圆的并是许多的圆弧+ 许多多边形的面积之和(注意这里为简单多边形,并且面积有正负之别!)
于是我们累加互补区间的圆弧面积到答案,并把互补区间确定的弦的有向面积累加到答案
(例如在上面的例子中,我们在扫描到橙色圆的这一步只需要累加蓝色和绿色的圆弧面积 以及 蓝色和绿色的有向面积,注意这里蓝色和绿色的边必然是最后那个多边形的边!)
这里涉及到一个问题,就是:
圆弧可能大于一半的圆,例如上图中最大的圆,当然如果你推出了公式,那么实际上很容易发现无论圆弧长啥样都能算出正确的答案!
代码如下
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<vector> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<algorithm> #include<complex> using namespace std; const double EPS=1e-9,PI=acos(-1.0); int cmp(double k) { return k<-EPS ? -1:k>EPS ? 1:0; } inline double sqr(double x) { return x*x; } struct point { double x,y; point (){} point (double a,double b):x(a),y(b){} bool input() { return scanf("%lf%lf",&x,&y)!=EOF; } friend point operator +(const point &a,const point &b) { return point(a.x+b.x,a.y+b.y); } friend point operator -(const point &a,const point &b) { return point(a.x-b.x,a.y-b.y); } friend bool operator ==(const point &a,const point &b) { return cmp(a.x-b.x)==0&&cmp(a.y-b.y)==0; } friend point operator *(const point &a,const double &b) { return point(a.x*b,a.y*b); } friend point operator*(const double &a,const point &b) { return point(a*b.x,a*b.y); } friend point operator /(const point &a,const double &b) { return point(a.x/b,a.y/b); } double norm() { return sqrt(sqr(x)+sqr(y)); } }; double cross(const point &a,const point &b) { return a.x*b.y-a.y*b.x; } struct Circle { point p; double r; bool operator <(const Circle &o)const { if(cmp(r-o.r)!=0)return cmp(r-o.r)==-1; if(cmp(p.x-o.p.x)!=0)return cmp(p.x-o.p.x)==-1; return cmp(p.y-o.p.y)==-1; } bool operator ==(const Circle &o)const { return cmp(r-o.r)==0&&cmp(p.x-o.p.x)==0&&cmp(p.y-o.p.y)==0; } }; point rotate(const point &p,double cost,double sint) { double x=p.x,y=p.y; return point(x*cost-y*sint,x*sint+y*cost); } pair<point,point> crosspoint(point ap,double ar,point bp,double br) { double d=(ap-bp).norm(); double cost=(ar*ar+d*d-br*br)/(2*ar*d); double sint=sqrt(1.-cost*cost); point v=(bp-ap)/(bp-ap).norm()*ar; return make_pair(ap+rotate(v,cost,-sint),ap+rotate(v,cost,sint)); } inline pair<point,point> crosspoint(const Circle &a,const Circle &b) { return crosspoint(a.p,a.r,b.p,b.r); } const int maxn=2000; struct Node { point p; double a; int d; Node(const point &p,double a,int d):p(p),a(a),d(d){} bool operator <(const Node &o)const{ return a<o.a; } }; double arg(point p) { return arg(complex<double>(p.x,p.y)); } double solve(int m,Circle tc[],Circle c[]) { int n=0; sort(tc,tc+m); m=unique(tc,tc+m)-tc;//unique返回去重后的尾地址 for(int i=m-1;i>=0;i--) { bool ok=true; for(int j=i+1;j<m;++j) { double d=(tc[i].p-tc[j].p).norm(); if(cmp(d-abs(tc[i].r-tc[j].r))<=0) { ok=false; break; } } if(ok)c[n++]=tc[i]; } double ans=0; for(int i=0;i<n;++i) { vector<Node> event; point boundary=c[i].p+point(-c[i].r,0); event.push_back(Node(boundary,-PI,0)); event.push_back(Node(boundary,PI,0)); for(int j=0;j<n;++j) { if(i==j)continue; double d=(c[i].p-c[j].p).norm(); if(cmp(d-(c[i].r+c[j].r))<0) { pair<point,point> ret=crosspoint(c[i],c[j]); double x=arg(ret.first-c[i].p); double y=arg(ret.second-c[i].p); if(cmp(x-y)>0){ event.push_back(Node(ret.first,x,1)); event.push_back(Node(boundary,PI,-1)); event.push_back(Node(boundary,-PI,1)); event.push_back(Node(ret.second,y,-1)); }else{ event.push_back(Node(ret.first,x,1)); event.push_back(Node(ret.second,y,-1)); } } } sort(event.begin(),event.end()); int sum=event[0].d; for(int j=1;j<(int)event.size();++j) { if(sum==0) { ans+=cross(event[j-1].p,event[j].p)/2.; double x=event[j-1].a; double y=event[j].a; double area=c[i].r*c[i].r*(y-x)/2; point v1=event[j-1].p-c[i].p; point v2=event[j].p-c[i].p; area-=cross(v1,v2)/2.; ans+=area; } sum+=event[j].d; } } return ans; } Circle c[maxn],tc[maxn]; int m; int main() {freopen("t.txt","r",stdin); scanf("%d",&m); for(int i=0;i<m;i++) tc[i].p.input(),scanf("%lf",&tc[i].r); printf("%.5lf\\n",solve(m,tc,c)+0.00000005); return 0; }
以上是关于SPOJ CIRU SPOJ VCIRCLE 圆的面积并问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
SPOJ CIRU The area of the union of circles ——Simpson积分