POJ 3710 Christmas Game#经典图SG博弈

Posted 2020-06-18 ATM

http://poj.org/problem?id=3710

（说实话对于Tarjan算法在搞图论的时候就没搞太懂，以后得找时间深入了解）

（以下有关无向图删边游戏的资料来自论文贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》）

 

首先，对于无向图的删边游戏有如下定理性质：

1.（Fushion Principle定理）我们可对无向图做如下改动：将图中的任意一个偶环缩成一个新点，任意一个奇环缩成一个新点加一个新边；所有连到原先环上的边全部改为与新点相连；这样的改动不影响图的SG值。

2.（1）对于长度为奇数的环，去掉其中任意一个边之后，剩下的两个链长度同奇偶，抑或之后的SG值不可能为奇数，所以它的SG值为1；

    （2）对于长度为偶数的环，去掉其中任意一个边之后，剩下的两个链长度异奇偶，抑或之后的SG值不可能为0，所以它的SG值为0；

3.对于树的删边游戏，有如下定理：

          叶子节点的SG值为0；中间节点的SG值为它的所有子节点的SG值+1后的异或和。

 

所以对于这道题，用连通图的Tarjan算法找出环，然后删环，变成简单树，再进行Nim计算即可。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

vector<int> edge[105]; //邻接表
int belong[105][105]; //存放边的数量
int low[105],dfn[105];
int s[105],top; //堆栈
bool instack[105];
bool vis[105]; //用于标记不需要的点

void tarjan(int u,int pre,int depth)
{
    low[u]=dfn[u]=depth;//depth是时间戳，即level
    s[top++]=u;
    instack[u]=true;
    for(int i=0;i<edge[u].size();i++)
    {
        int v=edge[u][i];
        if(v==pre&&belong[u][v]>1) //判断重边
        {
            if(belong[u][v]%2==0)//偶环
                vis[u]=true;
            continue;
        }
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v,u,depth+1);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(v!=pre&&instack[v])
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        int cnt=1;
        top--;
        while(s[top]!=u)
        {
            vis[s[top--]]=true;
            cnt++;
        }
        if(cnt&&(cnt&1)) //若节点为奇数，则保留两个点加一条边
            vis[s[top+1]]=false;
    }
}

int getsg(int u,int pre)
{
    int res=0;
    for(int i=0;i<edge[u].size();i++)
    {
        int v=edge[u][i];
            res^=(getsg(v,u)+1);
        //叶子节点sg=0，其所有子节点的sg+1后进行异或
    }
    return res;
}

void init(int m)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
        edge[i].clear();
    memset(belong,0,sizeof(belong));
    memset(low,0,sizeof(low));
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(instack,0,sizeof(instack));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    top=0;
}

void add_edge(int u,int v)
{
    belong[u][v]++;
    belong[v][u]++;
    edge[u].push_back(v);
    edge[v].push_back(u);
}

int main()
{
    int n,m,k;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        int res=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%d%d",&m,&k);
            init(m);

            while(k--)
            {
                int u,v;
                scanf("%d%d",&u,&v);
                add_edge(u,v);
            }
            tarjan(1,-1,1);
            res^=getsg(1,-1);
        }
        if(res)
            printf("Sally\n");
        else printf("Harry\n");
    }
    return 0;
}