51nod 1232：完美数

Posted 2020-09-11 barriery

51nod 1232：完美数

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1232

题目大意：如果一个数能够被组成它的各个非$0$数字整除，则称它是完美数。例如：$10$,$11$,$12$,$101$都是完美数，但是$13$就不是完美数（因为$13$不能被数字3整除）。现在给定正整数$x$,$y$，求$[x,y]$中共有多少完美数。共有$T$组数据。

数位DP

如果对于$a \equiv r(mod m)$，存在$p|m$，则有$a \equiv r(mod p)$.

故我们可以记录被$2520$（$lcm(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$）模的余，代替分别记录被$1,2,3,4,5,6,7,8,9$模的余.

而标识$n$中含哪些数有多种方法：可以记录$lcm(p_i)$（此种需将$2520$的因子离散化），也可以用多个bool类型标记.

由于这道题$T$过大，故递推的方法不可行，采用记忆化搜索.

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstring>
 4 #include <algorithm>
 5 #define N 20
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll;
 8 const int m=2520;
 9 int T,dig[N];
10 ll a,b,dp[N][50][2520],f[2525],g[50],mod[20];
11 int gcd(int a,int b){
12     return b==0?a:gcd(b,a%b);
13 }
14 int lcm(int a,int b){
15     return a/gcd(a,b)*b;
16 }
17 ll dfs(int pos,int fact,int r,bool limit){
18     if (pos<0) return r%g[fact]==0;
19     if (!limit&&dp[pos][fact][r]!=-1) return dp[pos][fact][r];
20     ll res=0;
21     int last=limit?dig[pos]:9;
22     for (int i=0;i<=last;i++){
23         int x=g[fact];
24         if(i>1)x=lcm(x,i);
25         res+=dfs(pos-1,f[x],(r+mod[pos]*i)%m,limit&&(i==last));
26     }
27     if (!limit) dp[pos][fact][r]=res;
28     return res;
29 }
30 ll solve(ll n){
31     int len=0;
32     while (n){
33         dig[len++]=n%10;
34         n/=10;
35     }
36     return dfs(len-1,0,0,1);
37 }
38 void init(){
39     int k=0,i;
40     memset(dp,-1,sizeof(dp));
41     for(i=1;i*i<m;++i)if(m%i==0){
42         g[k++]=i;
43         g[k++]=m/i;
44     }
45     if(i*i==m)g[k++]=i;
46     sort(g,g+k);
47     for(int i=0;i<k;++i)f[g[i]]=i;
48     for(int i=0,t=1;i<=18;++i,t=(t*10)%m)mod[i]=t;
49 }
50 int main(void){
51     init();
52     scanf("%d",&T);
53     while(T--){
54         scanf("%lld%lld",&a,&b);
55         printf("%lld\n",solve(b)-solve(a-1));
56     }
57 }