最小函数值 洛谷P2085

Posted 2020-06-18 社会主义市场经济

   题目描述:

         有n个函数，分别为F1,F2,...,Fn。定义Fi(x)=Ai*x^2+Bi*x+Ci (x∈N*)。给定这些Ai、Bi和Ci，请求出所有函数的所有函数值中最小的m个（如有重复的要输出多个）。

   输入样例：

 3 10
 4 5 3
 3 4 5
 1 7 1

   输出样例：

 9 12 12 19 25 29 31 44 45 54
题目分析：
（MLE，TLE做法）看到题目我们第一眼肯定想到的是将每个函数枚举m次，然后对这n*m个数进行排序，输出前m个。代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define MAXSIZE 100000000+20
 4 #define MAXN 10000+20
 5 int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
 6 int num[MAXSIZE];
 7 
 8 int main(){
 9     int n,m,k=1;
10     scanf("%d%d",&n,&m);
11     for(int i=1;i<=n;i++)
12         scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
13     for(int i=1;i<=n;i++)
14         for(int j=1;j<=m;j++)
15             num[k++]=a[i]*j*j+b[i]*j+c[i];
16     std::sort(num+1,num+k);
17     for(int i=1;i<=m;i++)
18         printf("%d ",num[i]);
19     return 0;
20 }

   　　这样做的正确性是显而易见的：题目要求给出最小的M个数，这最小的M个数是由这N个函数生成的，最坏情况就是这M个数都由一个函数生成。那么即使这样，x的最大值也只是等于M，因为我们都知道：当二次函数y=ax2+bx+c(a>0)时，抛物线开口朝上，y随x增大而增大。所以当x1=i,x2=j(i,j∈N+,i<j)时y1<y2，所以我们对于同一个函数来说，x越小生成的数越小，这点在AC的算法中有很重要的作用。

　　　通过上面所说的，我们可以得知x最大值也只是等于M，也就是说我们的枚举区间就是1~m。我们需要对每个函数都枚举一遍，所以这一步的时间复杂度是O(n*m)，最高是一亿，暂时还没超时，但是这是无序的，也就是说我们要将这n*m个数排序。

　　　假设我们用的是最快的快排，没被卡快排，那么这一步的时间复杂度就是O(n*m*log2(n*m));总体时间复杂度就是O(n*m*log2(n*m))，对于n=10000，m=10000，这个时间复杂度明显超时，况且我们还要花O(n*m)空间开销，这也是吃不消的。

　（AC做法）因为全部都算出来再排序输出必然超时，所以我们必须想办法减少算出来的值。在做出TLE且MLE的做法的时候，我们就证明了对于同一个函数而言，x越小生成的数越小，那我们不难画出下面这个表：

与x+1的关系	x的值	1	2	3	4	5	6	7	8
函数		<	<	<	<	<	<	<	<
f1		<	<	<	<	<	<	<	<
f2		<	<	<	<	<	<	<	<
f3		<	<	<	<	<	<	<	<
f4		<	<	<	<	<	<	<	<
f5		<	<	<	<	<	<	<	<
f6		<	<	<	<	<	<	<	<
f7		<	<	<	<	<	<	<	<
...		<	<	<	<	<	<	<	<

 

假设xi=1,xj=1时fi<fj
则xi=1,xj=xj+1时fi<fj
则当只存在fi和fj时xi=1时fi为最小值
稍加思考，我们可以想到下面一种贪心算法：
　　一开始先取每个函数中x=1时的值，输出这中间最小的，然后将最小的更新为x=2时的情况，再输出最小的......
　　说到最小，就想到了用最小堆实现，代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
 4 using std::swap;
 5 struct h{
 6     int data;
 7     int place;
 8 }heap[10000+20];
 9 bool operator < (const h &X,const h &Y){           //重载小于号
10         return X.data<Y.data;
11     }
12 int a[10000+20],b[10000+20],c[10000+20];
13 int x[10000+20];
14 int n;
15 void put(int i){
16     while(i*2+1<=n){
17         if(min(heap[i*2],heap[i*2+1])<heap[i]){   //比较左儿子和右儿子 
18             if(heap[i*2]<heap[i*2+1]){
19                 swap(heap[i*2],heap[i]);
20                 i*=2;
21             }else{
22                 swap(heap[i*2+1],heap[i]);
23                 i*=2;
24                 i++;
25             }
26         }else
27             break;
28     }if(i*2<=n&&heap[i*2]<heap[i]){
29         swap(heap[i*2],heap[i]);
30         i*=2;
31     }
32 }
33 
34 int main(){
35     int m;
36     scanf("%d%d",&n,&m);
37     for(int i=1;i<=n;i++)
38         scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
39     for(int i=1;i<=n;i++){
40         x[i]=1;                                          //保存每个函数的x用到了几 
41         heap[i].data=a[i]+b[i]+c[i];                     //当x=1的情况 
42         heap[i].place=i;
43     }
44     for(int i=n;i>=1;i--){
45         put(i);                                           //建堆 
46     }
47     for(int i=1;i<=m;i++){
48         printf("%d ",heap[1].data);
49         int &k=heap[1].place;
50         heap[1].data=heap[1].data+2*a[k]*x[k]+a[k]+b[k];    //自己去算，不想讲，初二数学--完全平方式 
51         x[heap[1].place]++;
52         put(1);
53     }
54     return 0;
55 }

时间复杂度O((n+m)log2n),最坏情况20000*log2（10000）≈280000不会超时
空间复杂度O(n)最坏10000，约0.04MB,离上限128MB很远。