1966 火柴排队

Posted 2020-09-11 tat296847

难度：提高+/省选-

题目类型：贪心/分治

提交次数：5

涉及知识：逆序对、离散化

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

 

输入文件为 match.in。

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

 

输出格式：

 

输出文件为 match.out。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

 

输入输出样例

输入样例#1：

【输入输出样例 1】
4
2 3 1 4
3 2 1 4
【输入输出样例 2】
4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出样例#1：

【输入输出样例 1】
1
【输入输出样例 2】
2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int n;
 5 
 6 struct node{
 7     int num;
 8     int no;
 9 }a[100005],b[100005];
10 
11 bool cmp(node n1, node n2){
12     return n1.num<n2.num;
13 }
14 
15 int f[100005];
16 int temp[100005];
17 int ans = 0;
18 
19 void merge(int l, int m, int r){
20     int i = l, k = l, j = m+1;
21     while(i <= m&&j <= r){
22         if(f[i]>f[j]){
23             temp[k++] = f[j++];
24             ans = (ans+m-i+1)%99999997; 
25         }
26         else
27             temp[k++] = f[i++];
28     }
29     while(i <= m)
30         temp[k++] = f[i++];
31     while(j <= r)
32         temp[k++] = f[j++];
33     for(i = l; i <= r; i++)
34         f[i] = temp[i];
35 } 
36 
37 void merge_sort(int l, int r){
38     if(l < r){
39         int m = (l+r)/2;
40         merge_sort(l, m);
41         merge_sort(m+1, r);
42         merge(l, m, r);
43     }
44     
45 }
46 int main(){
47     cin>>n;
48     int i;
49     for(i = 1; i <= n; i++){
50         cin>>a[i].num;
51         a[i].no = i;
52     }
53     for(i = 1; i <= n; i++){
54         cin>>b[i].num;
55         b[i].no = i;
56     }    
57     sort(a+1, a+n+1, cmp);
58     sort(b+1, b+n+1, cmp);
59     for(i = 1; i <= n; i++)
60         f[a[i].no] = b[i].no; //构造映射  
61 //    我们的目的：使a中第i大的数和b中第i大的数对齐
62 //    a数列中第a[i].no位置的数，应该排在b[i].no位置，所以其实际价值为b[i].no
63 //    从小到大排序，求逆序对 
64     merge_sort(1, n);
65     cout<<ans<<endl;
66     return 0;
67 }

备注：

上周讲的贪心专题中的一道题。首先是固定一行火柴不动，交换另一行火柴，使火柴的大小关系相对应。∑(ai-bi)^2展开之后可以发现，就是自招课上提到过的排序不等式，所以大小关系相对应时结果最小，也可以用数学归纳法证明。

接下来就转变成了一个找逆序对的问题。为什么是找逆序对呢？直观上是因为只能交换相邻两根火柴……老师课上好像给了证明，“假设a和b逆序且不相邻，则存在与a相邻逆序对"。算了我不太明白我也不想想了。

第一个问题就是f[a[i].no] = b[i].no，我可是琢磨了一中午这个道理。先把ab都排好序，对于a中第a[i].no个数，它的目标位置在第b[i].no个，那我们就认为这个位置的数的实际价值为b[i].no，这样对f数组进行排序就可以让大家各回各家（这个过程中找逆序对）。。实际上就是一个离散化的过程。我可能理解的还不是很深刻。

我妈来接我了我要回家了。

另外一个问题就是取模错了。导致一直80分……