两个1/x类的广义函数

Posted 2020-09-11 mashiqi

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2017/04/15

 

1、$\\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x}$

因为$(x \\ln x - x)\' = \\ln x$， 所以$\\int_0^a \\ln x \\mathrm{\\,d}x = \\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\int_\\epsilon^a \\ln x \\mathrm{\\,d}x = \\lim_{\\epsilon \\to 0^+}(x \\ln x - x)\\big|_\\epsilon^a = a \\ln a - a$，即是说对任意的$\\varphi \\in C_c^\\infty(\\mathbb{R}^1)$， $\\langle \\ln|x|, \\varphi \\rangle$有意义，且连续性也显而易见。所以$\\ln|x| \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$。所以$(\\ln|x|)\' \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$。将$(\\ln|x|)\'$定义为$\\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x}$：$$\\boxed{\\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x} \\triangleq (\\ln|x|)\'. \\quad\\text{Then}\\quad \\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x} \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1).}$$

 

2、$\\frac{1}{x \\pm i0}$

设$\\{f_n\\} \\subset \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$，则$\\{f_n\'\\} \\subset \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$。若存在$f \\in\\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$使得$f_n \\to f \\text{ in }\\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$，则$\\lim_{n \\to +\\infty} f_n\'$存在且$f_n\' \\to f\' \\text{ in }\\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1)$.

当$\\epsilon > 0$时，$\\ln(x + i\\epsilon) = \\ln|x + i\\epsilon| + i \\cdot \\arg(x + i\\epsilon)$。所以 $\\frac{1}{x + i\\epsilon} = \\big( \\ln(x + i\\epsilon) \\big)\' \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}_x^1), \\,\\forall \\epsilon > 0$。因为$\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\ln(x + i\\epsilon) = \\ln|x| - i\\pi \\cdot (H(x)-1) \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}_x^1)$，所以在$\\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}_x^1)$上$\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\frac{1}{x + i\\epsilon}$存在且

\\begin{align*}
\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\frac{1}{x + i\\epsilon} & = \\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\big( \\ln(x + i\\epsilon) \\big)\'
= \\big( \\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\ln(x + i\\epsilon) \\big)\' \\\\
& = \\big( \\ln|x| - i\\pi \\cdot (H(x)-1) \\big)\' \\\\
& = \\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x} - i\\pi\\delta(x).
\\end{align*}

现在将$\\frac{1}{x + i0}$定义为$\\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\frac{1}{x + i\\epsilon}$：$$\\boxed{\\frac{1}{x + i0} \\triangleq \\lim_{\\epsilon \\to 0^+} \\frac{1}{x + i\\epsilon}. \\quad\\text{Then}\\quad \\frac{1}{x + i0} = \\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x} - i\\pi\\delta(x) \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1).}$$ 同理，对正负的$i0$，我们有$$\\frac{1}{x \\pm i0} = \\text{p.v.}\\,\\frac{1}{x} \\mp i\\pi\\delta(x) \\in \\mathcal{D}\'(\\mathbb{R}^1).$$