[Heoi2014]大工程

Posted 2020-09-10 蒟蒻ZJO :-)

 

3611: [Heoi2014]大工程

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Description

 

国家有一个大工程，要给一个非常大的交通网络里建一些新的通道。 

我们这个国家位置非常特殊，可以看成是一个单位边权的树，城市位于顶点上。 

在 2 个国家 a,b 之间建一条新通道需要的代价为树上 a,b 的最短路径。

 现在国家有很多个计划，每个计划都是这样，我们选中了 k 个点，然后在它们两两之间 新建 C(k,2)条 新通道。

现在对于每个计划，我们想知道：

 1.这些新通道的代价和

 2.这些新通道中代价最小的是多少 

3.这些新通道中代价最大的是多少

 

Input

 

第一行 n 表示点数。

 接下来 n-1 行，每行两个数 a,b 表示 a 和 b 之间有一条边。

点从 1 开始标号。 接下来一行 q 表示计划数。

对每个计划有 2 行，第一行 k 表示这个计划选中了几个点。

 第二行用空格隔开的 k 个互不相同的数表示选了哪 k 个点。

 

Output

 

输出 q 行，每行三个数分别表示代价和，最小代价，最大代价。 

 

 

Sample Input

 

10
2 1
3 2
4 1
5 2
6 4
7 5
8 6
9 7
10 9
5
2
5 4
2
10 4
2
5 2
2
6 1
2
6 1

 

Sample Output

 

3 3 3
6 6 6
1 1 1
2 2 2
2 2 2

 

HINT

 

n<=1000000 

q<=50000并且保证所有k之和<=2*n

 

 

虚树DP。

先是总和，设sum[i]表示以i为根的子树中的路径总和

sum[i]+=sum[u]+size[u]*(k-size[u])*d，d代表路径长度，k代表询问点总数。可以看出这个式子根i这个点是否是询问点没有关系。
因为不管这个点是否是询问点，他的子树中的每个点都要和其他的点组合，根据乘法原理，答案就是这个了，
但若这个点是询问点，那么还要统计其他点到这个点的距离，这里没有统计，但是在递归处理这个点的子树的时候会统计到的。

最大值和最小值类似zd[i]代表i的子树中到i最远的点的距离,则ans1=max(ans1,zd[i]+zd[u]+d),

注意先算答案再更新值，zd[i]=max(zd[i],zd[u]+d)。若这个点是询问点，还要算ans1=max(ans1,zd[x])。最小值类似。

还有，虚树的根要算，不能默认为1，虚树的根为LCA(所有的询问点)。

  1 #include <algorithm>
  2 #include <iostream>
  3 #include <cstdlib>
  4 #include <cstring>
  5 #include <cstdio>
  6 #include <cmath>
  7 #define maxn 1000010
  8 #define inf 1999999999
  9 #define LL long long
 10 #define RG register
 11 using namespace std;
 12 struct data{
 13   int nex,to;
 14 }e[maxn*2],g[maxn*2];
 15 int head[maxn],edge=0,a[maxn],dis[maxn],dfn[maxn],head1[maxn],edge1=0,n;
 16 LL sum[maxn],zd[maxn],zx[maxn];
 17 LL size[maxn],k,ans1,ans2,s[maxn];
 18 bool bj[maxn];
 19 int f[maxn][20];
 20 inline void add(int from,int to){
 21   e[++edge].nex=head[from];
 22   e[edge].to=to;
 23   head[from]=edge;
 24 }
 25 inline void link(int from,int to){
 26   if(from==to) return;
 27   g[++edge1].nex=head1[from];
 28   g[edge1].to=to;
 29   head1[from]=edge1;
 30 }
 31 int de=0;
 32 void dfs(int x,int fa){
 33   de++;
 34   dfn[x]=de;
 35   for(int i=head[x];i;i=e[i].nex){
 36     int u=e[i].to;
 37     if(u==fa) continue;
 38     f[u][0]=x;
 39     dis[u]=dis[x]+1;
 40     dfs(u,x);
 41   }
 42 }
 43 inline int lca(int x,int y){
 44   if(dis[x]<dis[y]) swap(x,y);
 45   for(int i=18;i>=0;i--)
 46     if(dis[f[x][i]]>=dis[y]) x=f[x][i];
 47   if(x==y) return x;
 48   for(int i=18;i>=0;i--)
 49     if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];
 50   return f[x][0];
 51 }
 52 bool cmp(const int a,const int b){
 53   return dfn[a]<dfn[b];
 54 }
 55 void DP(int x,int fa){
 56   size[x]=bj[x];
 57   zd[x]=0,zx[x]=inf;
 58   sum[x]=0;
 59   for(RG int i=head1[x];i;i=g[i].nex){
 60     int u=g[i].to;
 61     if(u==fa) continue;
 62     DP(u,x);LL d=dis[u]-dis[x];
 63     size[x]+=size[u];
 64     sum[x]+=sum[u]+size[u]*(k-size[u])*d;
 65     ans1=min(ans1,zx[x]+zx[u]+d),zx[x]=min(zx[x],zx[u]+d);
 66     ans2=max(ans2,zd[x]+zd[u]+d),zd[x]=max(zd[x],zd[u]+d);
 67   }
 68   if(bj[x]) ans1=min(ans1,zx[x]),ans2=max(ans2,zd[x]),zx[x]=0;
 69   head1[x]=0;bj[x]=0;
 70   return;
 71 }
 72 inline void build(){
 73   int top=0,LCA;
 74   scanf("%lld",&k);
 75   for(RG int i=1;i<=k;i++)scanf("%d",&a[i]),bj[a[i]]=1;
 76   sort(a+1,a+k+1,cmp);
 77   LCA=lca(a[1],a[2]);
 78   for(RG int i=3;i<=k;i++)
 79     LCA=lca(LCA,a[i]);
 80   int root=LCA;
 81   for(RG int i=1;i<=k;i++){
 82     if(top==0){s[++top]=a[i];continue;}
 83     LCA=lca(s[top],a[i]);
 84     while(1){
 85       if(dis[s[top-1]]<=dis[LCA]){
 86     link(s[top],LCA),link(LCA,s[top]);
 87     top--;
 88     if(s[top]!=LCA) s[++top]=LCA;
 89     break;
 90       }
 91       link(s[top],s[top-1]),link(s[top-1],s[top]),top--;
 92     }
 93     if(s[top]!=a[i]) s[++top]=a[i];
 94   }
 95   while(top>1) link(s[top],s[top-1]),link(s[top-1],s[top]),top--;
 96   top--;
 97   ans1=inf,ans2=0;
 98   DP(root,0);
 99   printf("%lld %lld %lld\n",sum[root],ans1,ans2);
100   edge1=0;
101 }
102 int main()
103 {
104   freopen("!.in","r",stdin);
105   freopen("!.out","w",stdout);
106   int qes,x,y;
107   scanf("%d",&n);
108   for(RG int i=1;i<n;i++)
109     scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
110   dis[1]=1;
111   f[1][0]=1;
112   dfs(1,0);
113   for(RG int i=1;i<=18;i++)
114     for(RG int j=1;j<=n;j++)
115       f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
116   scanf("%d",&qes);
117   for(RG int i=1;i<=qes;i++)
118     build();
119   return 0;
120 }