最大（小）堆和堆排序简介

Posted 2020-09-10 IUNI_JM

（注：本文的相关叙述和图片摘自《数据结构与算法分析新视角》(周幸妮等)，因此本文只是我的一个复习记录，详细的论述请参考该书。）

1. 最大（小）堆

　　对于一个完全二叉树来说，如果所有的结点（叶子结点除外）的值都大于（小于）其左右孩子结点的值，那么这个完全二叉树就被成为一个大（小）根堆。如下图所示。按照堆的定义可以发现，堆顶结点（二叉树的根结点）一定对应整个序列中的最大（小）记录。这样一来，可以设计一种排序思路，每次将堆的堆顶记录输出，同时调整剩余的记录，使它们从新排成一个堆。重复这个过程，就能最终得到一个有序的序列，完成排序的过程，这种方法称之为堆排序。

　　因此，对于堆排序来说，主要有两个问题：

• 一个无序序列的所有记录如何排列成一个堆？
• 在输出了堆顶记录后，如何将剩下的记录再排成一个堆？

2. 堆排序

• 由无序序列生成堆

　　以序列{49,38,65,97,76,13,27,49,55,04}为例，介绍生成最小堆的思路。我们知道一棵完全二叉树的最后一个非叶子结点的索引为[n/2]，因此在本例中，选择第5个记录{76}作为初始筛选点。首先比较{76}与其左右孩子结点记录的大小，并按照筛选的结果进行交换，因此得到下图2的结果。接下来对倒数第二个非叶子结点进行处理，结果如下图3所示。重复这个步骤，可以得到一个结构完整的最小堆，如下图4所示。

            

                                          (1)序列直接构成完全二叉树       (2)一次筛选之后的完全二叉树      (3)二次筛选之后的完全二叉树

 

(4)经过多次筛选之后的最小堆

• 堆排序

　　以序列{13,38,27,49,76,65,49,97}为例，介绍堆排序的思路。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　          初始堆                                              输出堆顶元素后的情形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　最后一个记录暂放于堆顶                                      一次调整之后的情形

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  二次调整之后的情况                                输出记录{27}之后再排成一个堆

 　　重复上述步骤，最终就可以生成一个有序序列。

 3. 相关代码

• 生成最大堆代码（最小堆类似）

 1 //调整堆结点 
 2 //arr:数组首地址；n:结点在数组中的位置；len:数组的长度
 3 void adjust_node(int *arr, int n, int len)
 4 {
 5     int l, r, max, tmp;
 6     l = 2 * n + 1; //左右孩子的索引，注意数组下标从0开始。
 7     r = 2 * n + 2;
 8     max = n;
 9 
10     if (l<len&&arr[l]>arr[n])
11         max = l;
12     if (r<len&&arr[r]>arr[max])
13         max = r;
14 
15     if (max != n)
16     {
17         tmp = arr[n];
18         arr[n] = arr[max];
19         arr[max] = tmp;
20         adjust_node(arr, max, len); //保证最大堆
21     }
22 }

• 堆排序

 1 //堆排序（升序）
 2 void sort_heap(int *arr, int len)
 3 {
 4     for (int i = len / 2; i >= 0; i--)
 5         adjust_node(arr, i, len);
 6     int tmp;
 7     for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
 8     {
 9         tmp = arr[0];
10         arr[0] = arr[i];
11         arr[i] = tmp;
12         adjust_node(arr, 0, i);
13     }
14 }

• 验证

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     int arr[] = { 49,38,65,97,76,13,27,49,55,04 };
 7     int len = 10;
 8 
 9     for (int i = 0; i < len; i++)
10         cout << arr[i] << \' \';
11     cout << endl;
12 
15     sort_heap(arr, len);
16 
17     for (int i = 0; i < len; i++)
18         cout << arr[i] << \' \';
19     cout << endl;
20 
21     return 0;    
22 }

输出结果：

49 38 65 97 76 13 27 49 55 4
4 13 27 38 49 49 55 65 76 97