最大(小)堆和堆排序简介

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最大(小)堆和堆排序简介相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

(注:本文的相关叙述和图片摘自《数据结构与算法分析新视角》(周幸妮等),因此本文只是我的一个复习记录,详细的论述请参考该书。)

1. 最大(小)堆

  对于一个完全二叉树来说,如果所有的结点(叶子结点除外)的值都大于(小于)其左右孩子结点的值,那么这个完全二叉树就被成为一个大(小)根堆。如下图所示。按照堆的定义可以发现,堆顶结点(二叉树的根结点)一定对应整个序列中的最大(小)记录。这样一来,可以设计一种排序思路,每次将堆的堆顶记录输出,同时调整剩余的记录,使它们从新排成一个堆。重复这个过程,就能最终得到一个有序的序列,完成排序的过程,这种方法称之为堆排序。

  因此,对于堆排序来说,主要有两个问题:

  • 一个无序序列的所有记录如何排列成一个堆?
  • 在输出了堆顶记录后,如何将剩下的记录再排成一个堆?

2. 堆排序

  • 由无序序列生成堆

  以序列{49,38,65,97,76,13,27,49,55,04}为例,介绍生成最小堆的思路。我们知道一棵完全二叉树的最后一个非叶子结点的索引为[n/2],因此在本例中,选择第5个记录{76}作为初始筛选点。首先比较{76}与其左右孩子结点记录的大小,并按照筛选的结果进行交换,因此得到下图2的结果。接下来对倒数第二个非叶子结点进行处理,结果如下图3所示。重复这个步骤,可以得到一个结构完整的最小堆,如下图4所示。

            

                                          (1)序列直接构成完全二叉树       (2)一次筛选之后的完全二叉树      (3)二次筛选之后的完全二叉树

 

(4)经过多次筛选之后的最小堆

  • 堆排序

  以序列{13,38,27,49,76,65,49,97}为例,介绍堆排序的思路。

                              初始堆                                              输出堆顶元素后的情形

                   最后一个记录暂放于堆顶                                      一次调整之后的情形

                      二次调整之后的情况                                输出记录{27}之后再排成一个堆

   重复上述步骤,最终就可以生成一个有序序列。

 3. 相关代码

  • 生成最大堆代码(最小堆类似)
 1 //调整堆结点 
2
//arr:数组首地址;n:结点在数组中的位置;len:数组的长度 3 void adjust_node(int *arr, int n, int len) 4 { 5 int l, r, max, tmp; 6 l = 2 * n + 1; //左右孩子的索引,注意数组下标从0开始。 7 r = 2 * n + 2; 8 max = n; 9 10 if (l<len&&arr[l]>arr[n]) 11 max = l; 12 if (r<len&&arr[r]>arr[max]) 13 max = r; 14 15 if (max != n) 16 { 17 tmp = arr[n]; 18 arr[n] = arr[max]; 19 arr[max] = tmp; 20 adjust_node(arr, max, len); //保证最大堆 21 } 22 }
  • 堆排序
 1 //堆排序(升序)
 2 void sort_heap(int *arr, int len)
 3 {
 4     for (int i = len / 2; i >= 0; i--)
 5         adjust_node(arr, i, len);
 6     int tmp;
 7     for (int i = len - 1; i >= 0; i--)
 8     {
 9         tmp = arr[0];
10         arr[0] = arr[i];
11         arr[i] = tmp;
12         adjust_node(arr, 0, i);
13     }
14 }
  • 验证
 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     int arr[] = { 49,38,65,97,76,13,27,49,55,04 };
 7     int len = 10;
 8 
 9     for (int i = 0; i < len; i++)
10         cout << arr[i] << \' \';
11     cout << endl;
12 
15     sort_heap(arr, len);
16 
17     for (int i = 0; i < len; i++)
18         cout << arr[i] << \' \';
19     cout << endl;
20 
21     return 0;    
22 }

输出结果:

49 38 65 97 76 13 27 49 55 4
4 13 27 38 49 49 55 65 76 97

以上是关于最大(小)堆和堆排序简介的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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