活动安排问题

Posted 2020-09-09 王勋广

【问题】

设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源（如一个阶梯教室等），而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。
每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi，且0<=si <fi< 0。
如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。
若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si≥fj或sj≥fi时，活动i与活动j相容。
问题：在所给的活动集合中选出一个最大的相容活动子集合。

【代码】

template<class Type>
void GreedySelector(int n,Type s[], Type f[], bool A[])
{
      A[1]=true;
      int j=1;
      for (int i=2;i<=n;i++) {
        if (s[ i ]>=f[ j ]) {
          A[i]=true;
          j=i;
          }
        else  A[i]=false;
        }
}

 

【算法分析】

贪心算法GreedySelector一开始选择活动1，并将j初始化为1。然后检查活动i是否与当前已选择的所有活动相容。若相容则将活动i加入到已选择活动的集合A中，否则不选择活动i，而继续检查下一活动与集合A中活动的相容性。由于 f_j 总是当前集合A中所有活动的最大结束时间，故活动i与当前集合A中相容的充分必要条件是其开始时间 s_i 不早于最近加入集合A中的活动j的结束时间 f_j，即 s_i≥f_j 。若活动i与之相容，则i成为最近加入集合A中的活动，并取代活动 j 的位置。由于输入的活动以完成时间的非减序排列，所以算法GreedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。