[BZOJ 2440][中山市选2011]完全平方数（容斥原理/莫比乌斯函数+二分）

Posted 2020-09-09 Zars19

Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Solution

二分答案，于是问题转化成了如何求出不含完全平方数因子的数

【不知道为什么，这道题里1居然不是一个完全平方数，但如果是的话就没法做了】

容斥原理：x以内有多少个不含完全平方数因子的数=0个质数的乘积的平方的倍数个数(1)-1个质数乘积的平方的倍数个数(2*2=4、3*3=9...)+2个质数乘积的平方的倍数个数(2*2*3*3=36...)-...

于是就可以用上莫比乌斯函数了，线性筛求mu

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 50000
using namespace std;
typedef long long LL;
int t,k;
int pri[MAXN],cnt=0,mu[MAXN];
bool jud[MAXN];
void getmu()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!jud[i])pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;pri[j]*i<=MAXN&&j<=cnt;j++)
        {
            jud[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
            mu[i*pri[j]]=-mu[i]; 
        }
    }
}
LL check(LL x)
{
    LL res=0;
    for(int i=1;i<=sqrt(x);i++)
    res+=x/(i*i)*mu[i];
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);getmu();
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d",&k);
        LL ans,l=1,r=2000000000;
        while(l<=r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            if(check(mid)>=k)ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}