约瑟夫环问题的优化及终极优化

Posted 2020-09-09 Zoewilly

约瑟夫问题大致描述：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为1的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列，求最后一个出列人的编号。

 

算法1：模拟

链表维护每个人的相对位置，每次模拟报数的过程，每次踢掉一个人，求出最后被踢掉的人。

时间复杂度O(nm) 

由于该算法比较暴力，就不贴呆马了

 

算法2：数学递推

考虑每次踢掉一个人后，问题会变成一个子问题，即（n-1）个人围一桌，从编号为上次被踢出的后一个人开始报数，数到m的人被踢掉，求出此次被踢掉的人的编号。

假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n;

所以这就变成了一个递推的问题：

令 f[i] 表示 i个人玩约瑟夫游戏，报到m的人被踢出，胜利的人的编号。

f[i]=(f[i-1]+m) % i; (i>1)   边界条件f[1]=0;

所以该问题可以递推解决，时间复杂度O(n)

1 var
2     n,k,i                                    :longint;
3     f                                        :array[0..1000050] of longint;
4 begin
5     read(n,k);
6     f[1]:=0;
7     for i:=2 to n do f[i]:=(f[i-1]+k) mod i;
8     writeln(f[n]+1);
9 end.

 

 

算法3：优化递推

上面的算法相比最初的模拟算法效率已经大大提升了，那么，该算法还有改进的余地么？
事实上，如果我们观察上述算法中的变量k，他的初始值为第一个出圈人的编号，但在循环的过程中，我们会发现它常常处在一种等差递增的状态，我来看这个式子：k = (k + m - 1) % i + 1，可以看出，当i比较大而k+m-1比较小的时候，k就处于一种等差递增的状态，这个等差递增的过程并不是必须的，可以跳过。
我们设一中间变量x，列出如下等式：
k + m * x – 1 = i + x
解出x，令k = k + m * x，将i + x直接赋值给 i，这样就跳过了中间共x重的循环，从而节省了等差递增的时间开销。
可是其中求出来的x + i可能会超过n，这样的结果事实上已经告诉我们此时可以直接结束算法了，即：
k = k + m * (n - i) ;
i = n;
结束。
另外对于m = 1的情况可以单独讨论：
当k == 1时，最终结果就是n；
当k != 1时，最终结果就是(k + n - 1) % n。

 1 var
 2     n,m                                     :int64;
 3 
 4 function ysf(n,m,k:int64):int64;
 5 var
 6     i,j,x                                    :int64;
 7 begin
 8     if m=1 then
 9     begin
10         if (k=1) then k:=n else k:=(k+n-1) mod n;
11     end else
12     begin
13         i:=1;
14         while i<=n do
15         begin
16             if (k+m<i) then
17             begin
18                 x:=(i-k+1) div (m-1) -1;
19                 if (i+x<n) then
20                 begin
21                     i:=i+x;
22                     k:=(k+m*x);
23                 end else
24                 begin
25                     k:=k+m*(n-i);
26                     i:=n;
27                 end;
28             end;
29             k:=(k+m-1) mod i+1;
30             inc(i);
31         end;
32     end;
33     exit(k);
34 end;
35 
36 begin
37     read(n,m);
38     writeln(ysf(n,m,0));
39 end.