乘积最大（动规）

Posted 2020-09-09 小时のblog

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描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1)  3*12=36

2)  31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入

程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。

输出

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。（保证最终答案不超过int范围）

样例输入

4 2
1231

样例输出

62

来源

NOIP2000复赛 普及组 第三题

【思路】

最优问题 动态规划 递推思路

有k个决策 每放入一个*为一次决策；

进行划分的数的位数最少也要是乘号的个数+1，循环到n位数‘；

每次看最后一个乘号后还有几位数；

然后枚举最后一个乘号后面的数有几位

【代码】

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 using namespace std;
 5 long long a[30][30],f[30][30];//数组a[i][j]记录从第i位到第j位的数的大小 
 6 int main()              //f[i][j]为前i位数分j个乘号的最大值 
 7 {
 8     int n,k;
 9     long long s;
10     scanf("%d%d%lld",&n,&k,&s);//输入位数，乘号的个数，数字串 
11     for(int i=n;i>=1;i--)
12     {//如果s是长整型的，数组a也要是长整型的 
13         a[i][i]=s%10;//从第i位到第i位就是这个数本身； 
14     //    cout<<a[i][i]<<endl;
15         s/=10;//
16     }
17     for(int i=2;i<=n;i++)
18         for(int j=i-1;j>=1;j--)
19            a[j][i]=a[j][i-1]*10+a[i][i];//计算每一位到每一位，因为上面已经推出本身到本身，所以任意两位之间的距离都能推出来 
20     for(int i=1;i<=n;i++)//特殊处理一下没有乘号的情况 
21     f[i][0]=a[1][i];//前i个数分到0个乘号的值就是第1-i这个数本身； 
22     for(int i=1;i<=k;i++)//分为k个阶段；即插入k个乘号；每插入一个乘号为一个决策阶段； 
23        for(int j=i+1;j<=n;j++)//判断一下最后一个乘号后有几位数（当第i个乘号被分配时，最少有i+1个数，
24        //所以循环从i+1开始） 
25          for(int m=i;m<j;m++)
26            f[j][i]=max(f[j][i],f[m][i-1]*a[m+1][j]);//前j个数分配i个乘号取最大值，前m个数分配i-1个乘号的值
27            //再乘以最后一个乘号后的值 
28     printf("%lld\n",f[n][k]);//输出n个数分配k个乘号的值 
29     return 0;       
30 }

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