树链剖分小结

Posted 2020-09-09 羊毛羊

这两周在学树剖。

先扔个模板

有一类题目，要求实现一类在树上的操作，比如：

　　修改/求 树上某 节点/边权 的（最）值；

　　修改/求 树上某 节点/边权 及其子树上所有节点的（最）值；

　　修改/求 树上某两点路径间的 节点/边权 的（最）值；

乍一看似乎用线段树就可以实现，但是如果仔细想想，可以发现单凭线段树是无法解决的。

 对于这类题目，常用的解决方法是树链剖分。

   

树链剖分（节选自starszys博客）：

相关定义：

　　重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
　　轻儿子：v的其它子节点。
　　重边：点v与其重儿子的连边。
　　轻边：点v与其轻儿子的连边。
　　重链：由重边连成的路径。
　　轻链：轻边。

　　树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。
　　记siz[v]表示以v为根的子树的节点数

　　d[v]表示v的深度(根深度为1)

　　top[v]表示v所在的重链的顶端节点

　　f[v]表示v的父亲

　　son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点（重儿子）

　　id[v]表示:

　　　　1.v与其父亲节点的连边（v的父边）在线段树中的位置;

　　　　2.v在线段树中的位置;

　　只要把这些东西求出来，就能用logn的时间完成上述问题中的操作。

   

　　实际上，只需要两次dfs就可以求出上述变量。

　　dfs1（dfs）:求出f、d、siz、son

　　dfs2（build）:求出id与top（详见模板）

　　然后将原树中各点的值update到线段树中，进行各种操作。

 

 

基本操作：

　　1.修改/求 树上某 节点/边权 的值：根据id简单query()即可；

　　2.修改/求 树上某两点路径间的 节点/边权 的（最）值：顺着top[],将top[]深度较大的节点向上调整，调整过程中进行区间查询即可；

　　3.修改/求 树上某 节点/边权 及其子树上所有节点的（最）值：一般来说是用DFS序+线段树，但是经过树链剖分，任意一棵子树内的节点的id必然是连续的，区间修改[id[v],id[v]+siz[v]-1]即可；

   

时间复杂度:

既然树剖这么好用，那它的时间复杂度如何呢？

可以证明，树链剖分执行一次修改/查询的时间复杂度是O(logn·logn)。

经过上面的学习，可以发现树链剖分的结构是沿着链向上跳+线段树修改/查询。

线段树修改查询操作的时间复杂度是O(logn)，而在树链上每走一条轻边，子树大小就/=2，所以最多走log n条轻边。

一个还不错的博客

推荐题目：

　　模板题：BZOJ4034、BZOJ1036（LZOJ21004）、BZOJ2243、POJ3237

　　稍难：BZOJ3531、BZOJ3626、NOIp2015day1T3、NOIp2016天天爱跑步