UVa 1635 无关的元素（唯一分解定理+二项式定理）

Posted 2020-09-08 谦谦君子，陌上其华

https://vjudge.net/problem/UVA-1635

题意：

给定n个数a1，a2，...an,依次求出相邻两数之和，将得到一个新数列。重复上述操作，最后结果将变成一个数。问这个数除以m的余数与哪些数无关？例如n=3，m=2时，第一次求和得到a1+a2，a2+a3，再求和得到a1+2a2+a3，它除以2的余数和a2无关。

 

思路：

如果有n个数，最后结果就是杨辉三角的第n-1行。这样算出每一项的系数是很容易的，但是n很大，系数到最后很大。所以直接C%m的话不行。

有个整除的条件：m中每个素因子在C中都存在并且C中的指数大于等于m的素因子的指数。

所以我们先将m分解素因子，依次计算各个素因子在C中的指数，这里还要用到递推式，每次从左到右计算C的时候，只需要考虑（n-k+1）/k,因为在上一次已经计算过了，它的素因子指数已经保存下来了。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn=1e5+5;
 8 
 9 int n,m;
10 int fac[105][2];  //f[][0]用来存储质因子，f[][1]存储对应质因子的个数
11 int c[105];
12 int a[maxn];
13 int num;   //m分解质因子的个数
14 
15 void factor()   //分解质因子
16 {
17     for(int i=2;i*i<=m;i++)
18     {
19         if(m%i==0)
20         {
21             fac[++num][0]=i;
22             fac[num][1]=0;
23             do
24             {
25                 fac[num][1]++;
26                 m/=i;
27             }while(m%i==0);
28         }
29     }
30     if(m>1)
31     {
32         fac[++num][0]=m;
33         fac[num][1]=1;
34     }
35 }
36 
37 bool check(int n,int i)
38 {
39     int x=n-i;  //n-1-i+1
40     int y=i;
41     for(int i=1;i<=num;i++)
42     {
43         int p=fac[i][0];
44         while(x%p==0)
45         {
46             x/=p;
47             c[i]++;
48         }
49         while(y%p==0)
50         {
51             y/=p;
52             c[i]--;
53         }
54     }
55     for(int i=1;i<=num;i++)
56         if(c[i]<fac[i][1])
57             return false;
58     return true;
59 }
60 
61 int main()
62 {
63     while(cin>>n>>m)
64     {
65         num=0;
66         int cnt=0;
67         factor();
68         memset(c,0,sizeof(c));
69         for(int i=1;i<n-1;i++)   //第1项和最后一项都是1，直接跳过
70         {
71             if(check(n,i))
72                 a[cnt++]=i+1;
73         }
74         printf("%d\\n",cnt);
75         for (int i = 0; i < cnt; i++)
76             printf("%s%d", i == 0 ? "" : " ", a[i]);
77         printf("\\n");
78     }
79     return 0;
80 }