非负矩阵分解：拉格朗日乘子法求解

Posted 2020-09-08 桂。

作者：桂。

时间：2017-04-07  07:11:54

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前言

本文为非负矩阵分解系列第三篇，在第二篇中介绍了不同准则下乘法算法的推导及代码实现，这里不免有一个疑问：明明是一个约束的优化问题，虽然乘法算法巧妙地将其变为一个无约束优化问题，梯度下降到乘法算法的转化，既让人觉得奇妙，又有点莫名其妙。不失一般性，约束问题应该是可以利用拉格朗日乘子法求解，本文打算对此进行梳理，内容主要包括：

　　1）无约束求解NMF；

　　2）拉格朗日乘子法求解NMF；

内容为自己的心得体会，许多问题自己也不是很有把握，其中错误的地方希望各位帮忙指出来，全文多有借鉴他人之处，最后一并给出链接。

一、无约束求解NMF

本文主要以Euclidean距离为例，KL散度等不同准则都是大同小异的，就不一一啰嗦了。

考虑无约束优化问题：

利用梯度下降：

其中：

如果直接梯度下降，对于无约束的优化问题，我们不能保证结果都是非负的，下面巧妙之处来了：将梯度下降法变为乘法算法。

令：

梯度下降法变换为乘法算法：

真是巧妙！一个复杂的约束性优化问题，就让一个简单的无约束给解决了。这样一来，如果原矩阵为非负，W、H初始值同样非负，结果自始至终都是非负，直至迭代到满足收敛条件。

收敛性证明可以参考：Lee D D, Seung H S. Algorithms for Non-negative Matrix Factorization[C]// NIPS. 2000:556--562.

对应代码以及更多理论细节，可以参考NMF的上一篇文章。

 

二、拉格朗日乘子法求解NMF

看到上面的乘法算法，难免感叹它的奇妙，但其实中规中矩，也自有一番力量。对于含有约束的优化问题，这里就采用通用的方法——拉格朗日乘子法。关于拉格朗日乘子法，更多细节可以参考之前的一篇博文。

　　A-KKT条件

给出约束优化原始问题模型：

其中${h_i}\\left( x \\right) = 0,\\;i = 1,...q$也可写成矩阵形式：${\\bf{Ax}} = {\\bf{b}}$.该模型为原始问题。

该模型利用拉格朗日乘子可以松弛为无约束优化问题：

$\\min \\;\\;L\\left( {x,\\lambda ,v} \\right) = {f_0}\\left( x \\right) + \\sum\\limits_{i = 1}^m {{\\lambda _i}{f_i}\\left( x \\right) + \\sum\\limits_{i = 1}^q {{v_i}{h_i}\\left( x \\right)} } $

该模型为对偶问题。（不是对偶方法哦，仅仅是对偶问题，不要搞混了，对偶方法中采用minmax、maxmin之类的问题）

将有约束的原始问题转化为无约束的对偶问题，局部极小解的一阶必要条件（即Karush-Kurth-Tucker,KKT）为：

为什么有这几个约束？更多细节问题同样参考之前的一篇博文，这里就不再多说了。

　　B-拉格朗日乘子求解NMF

考虑有约束优化问题：

将有约束的原始问题转化为无约束的对偶问题（因为是非负，故约束前添加负号）：

利用梯度下降求解（W、H为复数的情况不考虑）：

其中：

 

将梯度下降的结果变形为：

利用KKT条件，上式就是：

这个式子求解出的W和H，就是局部最优解。虽然是两个式子，两个未知数，看似直接求解，其实不行。这里有个问题：知道W可以解出H，知道H可以解出W，又是一个鸡生蛋蛋生鸡的问题。是不是很熟悉？在分析EM的时候，就是这个问题，所有才有E（expectation）、M（maximize）问题。不过这里用不到EM，因为EM算法的核心是Q函数，而不是两步走问题，任何最大似然估计，参数互相渗透，都有两步走问题呀，这类问题分析过，详细可以参考之前的文章，这里只说说两步走。

参数如何求解呢？接着思路往下走。

　　C-参数求解

说是两步走，其实就是这么个思路：

将纠缠不清的问题，转化为：按迭代次序依次推进。这跟之前EM算法一文中的硬币第三抛问题很像，对应的解法就是那篇文中说的山寨版EM算法。给出结果：

有时为了简便，将迭代次数（t）、（t+1）略去：

这不就是乘法算法？至于收敛性，证明与之前一致就可以了。还是拉格朗日乘子法比较直观，用着按部就班就能得出结果来。