羊车门问题

Posted 2020-09-08

我认为 会 增加选中汽车的机会。

设总共有N扇门，其中某一扇门后面有车。

策略一：我选择某扇门，在主持人提示之后，不变更选择。
实质：决定我中奖的，是“我一次选中了有车的门”这一事件A，与后续事件无关。
事件概率/中奖概率：

策略二：我选择某扇门，在主持人提示之后，变更选择。
实质：决定我中奖的，是两个事件的发生：

• 　　事件B. 我第一次选择了无车的门；
• 　　事件C. 在事件B发生的条件下，我在剩余可选的门中选择了有车的门。（此时，除去第一次选择的门和主持人打开的门，剩余的可选的门只有N-2扇）

事件概率：

• ；
• ；

中奖概率：

比较上述情况可知：；
即变更选择是更优策略。

举例：
设N=3，依据上述公式，策略一中奖的概率是0.333，策略二是0.667；
设N=5，依据上述公式，策略一中奖的概率是0.200，策略二是0.267；

import random

def monte(N=3, rechoose=False):
    # Setup scenary.
    doors = list(range(N))
    reward = random.choice(doors)
    # My choice.
    mychoi = random.choice(doors)
    # The host‘s possible hint, excluding
    # - my choice
    # - the reward.
    tdoors = doors[:]
    tdoors.remove(mychoi)
    if reward != mychoi:
        tdoors.remove(reward)
    tempta = random.choice(tdoors)
    # My second choice, excluding
    # - the first choice
    # - the host‘s temptation
    if rechoose:
        doors.remove(mychoi)
        doors.remove(tempta)
        mychoi = random.choice(doors)
    return reward == mychoi

测试运行结果。

T = 100000

# 例一
In [1]: sum(monte(N=3) for _ in range(T)) / T
Out[1]: 0.332977

In [2]: sum(monte(N=3,rechoose=True) for _ in range(T)) / T
Out[2]: 0.667285


# 例二
In [3]: sum(monte(N=5) for _ in range(T)) / T
Out[3]: 0.200164

In [4]: sum(monte(N=5,rechoose=True) for _ in range(T)) / T
Out[4]: 0.266301