pyoj61 双线DP

Posted 2020-09-08 zzq

传纸条（一）

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难度：5

 

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。 

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

 

输入

第一行输入N(0<N<100)表示待测数据组数。
每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。 
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。 

样例输入

1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34
妈蛋，看zzuli那个不会过来的
要同时考虑两个人的走动情况同时DP，假设两个人坐标为(i,j).(p.q)
直观DP方程：

 dp[i][j][p][q]=max(dp[i-1][j][p-1][q],dp[i-1][j][p][q-1],dp[i][j-1][p-1][q],dp[i][j-1][p][q-1])+e[i][j]+e[p][q];

四维必爆无疑，考虑压缩为三维，不难发现类似于在0的个数那道题的发现，在只能往右和下走的情况的下，只能走n+m-2步才能到达

又同时从(1,1)出发，每次都走一步的话，不难得到：i+j==p+q==k,则（k-2）表示当前走了几步

所以我们只要考虑出k和两个坐标的一个维就可以知道另一维的值

所以考虑DP方程：dp[k][x1][x2]=max{dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1],dp[k-1][x1-1][x2-1]}+e[x1][k+2-x1]+e[x2][k+2-x2];

x1,x2分别表示两个点的横坐标，根据k求出纵坐标

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Max(a,b,c,d) max(max(a,b),max(c,d))
#define ql(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define CIN(a) scanf("%d",&a)
int dp[105][61][61];
int e[61][61];
int main()
{
int x1,y1,x2,y2;
int n,m,i,j,k,t;
//cin>>t;
CIN(t);
while(t--){ql(e),ql(dp);
cin>>n>>m;
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=1;j<=m;++j) CIN(e[i][j]);
for(k=1;k<n+m-2;++k)
for(x1=1;x1<=n;++x1)
for(x2=x1+1;x2<=n;++x2)     //红色部分的优化意义:打印出结果不难发现结果成对角线对称，所以不必重复计算
if(x1==x2||k+2-x1<0||k+2-x2<0||k+2-x1>m||k+2-x2>m) continue;
else{
dp[k][x1][x2]=Max(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1][x2-1],dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1])
+e[x1][k+2-x1]+e[x2][k+2-x2];
}
for(k=1;k<n+m-2;k++){
for(i=1;i<=n;++i){
for(j=1;j<=n;++j)
cout<<dp[k][i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<endl;
}
printf("%d\n",max(dp[k-1][n-1][n],dp[k-1][n][n-1]));   //其实不必比较，二者是等价的
}
return 0;
}

 

之所以会产生对角线成对称结果的原因：
md表达能力太差，举个栗子，假设两条线路L1,L2,

当L1走到（x1,k+2-x1）,L2走到(x2,k+2-x2)获得的值与L1走到（x2,k+2-x2）,L2走到(x1,k+2-x1)的值实际上是一样的！

想象一下L1，L2走过的一对最佳路线对调之后L1->L2,L2->L1这样不又出现一种结果吗！但是显然这两种结果的值肯定是一样的，所以根据这个去重！