51nod 1406：与查询

Posted 2020-09-08 barriery

51nod 1406：与查询

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/submitDetail.html#!judgeId=222358

题目大意：给出$n$个数，问这$n$个数与$x$做位与（$\&$）后值为$x$的有多少个.

DP

显然暴力是不行的.

由题目可得，若$a \& x=x$，则$x$的二进制表示中为$1$的位，$a$也必为$1$.

故若$x$和$y$仅有一位不同，且$x\&y=x$，则 与$x$做位与后值为$x$的数中 必包含 与$y$做位与后值为$y$的数.

我们将一个数$x$分成两部分：$x_{+i}$和$x_{-i}$，分别表示$x$二进制表示的前$i$位和后$20-i$位（如$1023_{+10}=1111111111$，$1023_{-10}=0000000000$）.

定义状态 $dp[i][j]$为这$n$个数中，所有$a_{+i} \& j_{+i}=j_{+i}$且$a_{-i}=j_{-i}$的个数.

则初始状态$dp[0][j]$即为$n$个数中，值为$j$的数的个数.

不难得出状态转移方程：

• 当$j$的第$i$（记第一位为$1$）位为$0$时，当前位可为$0$或$1$，故$dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i-1][j|(1<<(i-1))]$.
• 当$j$的第$i$位为$1$时，当前位只能为$1$，故$dp[i][j]+=dp[i-1][j]$.

需要注意的是输入输出的量很大，需要使用输入输出挂.

代码如下：

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3 int n,t,dp[21][1<<20];
 4 int in(){
 5     int res=0,flag=0,ch;
 6     if((ch=getchar())==‘-‘)flag=1;
 7     else if(‘0‘<=ch&&ch<=‘9‘)res=ch-‘0‘;
 8     while(‘0‘<=(ch=getchar())&&ch<=‘9‘)res=res*10+ch-‘0‘;
 9     return flag?-res:res;
10 }
11 void out(int x){
12     if(x>9)out(x/10);
13     putchar(‘0‘+x%10);
14 }
15 int main(void){
16     n=in();
17     for(int i=0;i<n;++i){
18         t=in();
19         dp[0][t]++;
20     }
21     for(int i=1;i<=20;++i){
22         for(int j=0;j<=1000000;++j){
23             if(j&(1<<(i-1)))dp[i][j]+=dp[i-1][j];
24             else dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i-1][j|(1<<(i-1))];
25         }
26     }
27     for(int i=0;i<=1000000;++i){
28         out(dp[20][i]);
29         puts("");
30     }
31 }