poj2104（主席树讲解）

Posted 2020-09-08 不明嚼栗的园子

今天心血来潮，突然想到有主席树这个神奇的玩意儿。。。一直都只是听说也没敢看。（蒟蒻蛋蛋的忧伤。。。）

然后到网上翻大神的各种解释。。。看了半天。。。

一拍脑袋。。。哇其实主席树

真的难。。。【咳咳我只是来搞笑的】

看了很多种解释最后一头雾水啊。。。就是没法脑补出（嗯没错经常脑补数据结构长啥样）主席树的样子。。。。

最后终于找到了一个大大大大大大神犇的ppt，看到了主席树的真面目，才真的能弄懂主席树的结构。。。

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下面进入正题【废话多】

主席树比较简单的理解就是，给你一个长为n的数列，你对于其中每个区间[1,i]都建立一棵线段树，用于保存这个区间中每个数出现的次数（这个显然线段树统计个数吧）。

然后这样你就得到了n棵线段树，如果按正常存储。。。MLE吧

不知道大佬用什么做线段树，反正我是数组模拟的。。。这样预先开好肯定会炸。。。

那么解决的办法呢，当然是有的【又是废话。。。我该改改这毛病了。。。】

用指针建树，就可以消灾解难了。为什么呢，仔细想想，如果说a[i]很小，那么就可以从tree[i-1]中得到很多重复的部分。譬如这n个数字是1~10，a[i]=3，那么显然tree[i]的右半棵子树和tree[i-1]一模一样，就可以直接使用。

如此算来，每加一个数，只要增加log（size）个节点 【注：size为n个数中不重复的个数】。那么只要O(n log n)就够了。

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如果你脑中实在脑补不出（像我一样），那么下面就是图解：

【图中黑色的是原本存在的点，红色是新增的点，可见新增的点权值在（左数第二个黑点）和（最右边的黑点）之间。】

这样一来，应该可以有点概念了吧。。

如此看来，主席树还不算太难理解吧？？

先看构造的数据结构。。。

 1 struct node
 2 {
 3     node *son[2];
 4     int cnt;
 5     node(){son[0]=son[1]=NULL;cnt=0;}
 6     void update()
 7     {
 8         if (son[0]) cnt+=son[0]->cnt;
 9         if (son[1]) cnt+=son[1]->cnt;
10     }
11 }*null=new node(),*root[200011]={NULL},q[1850011];

构造一下吧

 

那么对于主席树的构建，也是好理解的了。只要连边或者加点就好了，复杂度毋庸置疑是O（log n）

 1 void build(node *&y,node *&x,int l,int r,int tmp)
 2 {
 3     if (x==NULL) x=null;
 4     y=&q[++qt];
 5     *y=node();
 6     int mid=l+r>>1;
 7     if (l==r)
 8     {
 9         *y=*x;
10         y->cnt++;
11         return;
12     }
13     if (tmp<=a2[mid])
14     {
15         build(y->son[0],x->son[0],l,mid,tmp);
16         y->son[1]=x->son[1];
17         y->update();
18     }
19     else
20     {
21         build(y->son[1],x->son[1],mid+1,r,tmp);
22         y->son[0]=x->son[0];
23         y->update();
24     }
25 }

憋偷看代码

还有关于查找第k大的方法，和线段树是类似的，由于主席树一个重要的性质就是可减，所以只要同时计算tree[l-1]和tree[r]的同区间节点并相减，然后和k比较，往下递归寻找，直到叶节点为止。复杂度O（log n）。

 1 void find(node *&x1,node *&x2,int l,int r,int k)
 2 {
 3     if (x1==NULL) x1=null;
 4     if (x2==NULL) x2=null;
 5     if (l==r)
 6     {
 7         cout << a2[l] << "\\n";return;
 8     }
 9     int mid=l+r>>1,hs=0;
10     if (x2->son[0]) hs+=x2->son[0]->cnt;
11     if (x1->son[0]) hs-=x1->son[0]->cnt;
12     if (hs>=k) find(x1->son[0],x2->son[0],l,mid,k);
13     else find(x1->son[1],x2->son[1],mid+1,r,k-hs);
14 }

看吧看吧

大概就是这么个套路。。。

噢对了还有很重要的一点！！！！

对于size的获得与比较，都应在有序的基础上。所以可以先复制一个数组sort一下，然后unique一下，（就是个离散化）。

p党真不好意思我想你们可能不会看到这里了不过。。。就是个排序去重的意思。

那么对于裸题poj2104而言，代码如下（也许会和神犇有点像。。。）

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 
 6 int n,m,a[200011],a2[200011];
 7 struct node
 8 {
 9     node *son[2];
10     int cnt;
11     node(){son[0]=son[1]=NULL;cnt=0;}
12     void update()
13     {
14         if (son[0]) cnt+=son[0]->cnt;
15         if (son[1]) cnt+=son[1]->cnt;
16     }
17 }*null=new node(),*root[200011]={NULL},q[1850011];
18 int qt;
19 
20 int read()
21 {
22     int x=0,f=1;char c=getchar();
23     while (!isdigit(c)) {if (c==\'-\')f=-1;c=getchar();}
24     while (isdigit(c)) {x=x*10+c-\'0\';c=getchar();}
25     return x*f;
26 }
27 
28 void build(node *&y,node *&x,int l,int r,int tmp)
29 {
30     if (x==NULL) x=null;
31     y=&q[++qt];
32     *y=node();
33     int mid=l+r>>1;
34     if (l==r)
35     {
36         *y=*x;
37         y->cnt++;
38         return;
39     }
40     if (tmp<=a2[mid])
41     {
42         build(y->son[0],x->son[0],l,mid,tmp);
43         y->son[1]=x->son[1];
44         y->update();
45     }
46     else
47     {
48         build(y->son[1],x->son[1],mid+1,r,tmp);
49         y->son[0]=x->son[0];
50         y->update();
51     }
52 }
53 
54 void find(node *&x1,node *&x2,int l,int r,int k)
55 {
56     if (x1==NULL) x1=null;
57     if (x2==NULL) x2=null;
58     if (l==r)
59     {
60         cout << a2[l] << "\\n";return;
61     }
62     int mid=l+r>>1,hs=0;
63     if (x2->son[0]) hs+=x2->son[0]->cnt;
64     if (x1->son[0]) hs-=x1->son[0]->cnt;
65     if (hs>=k) find(x1->son[0],x2->son[0],l,mid,k);
66     else find(x1->son[1],x2->son[1],mid+1,r,k-hs);
67 }
68 
69 int main()
70 {
71     null->son[0]=null;null->son[1]=null;
72     n=read();m=read();
73     for (int i=1;i<=n;i++)
74     {
75         a[i]=read();
76         a2[i]=a[i];
77     }
78     sort(a2+1,a2+1+n);
79     int sz=unique(a2+1,a2+1+n)-(a2+1);
80     for (int i=1;i<=n;i++)
81         build(root[i],root[i-1],1,sz,a[i]);
82     for (int i=1;i<=m;i++)
83     {
84         int ll,rr,kk;
85         ll=read(),rr=read(),kk=read();
86         find(root[ll-1],root[rr],1,sz,kk);
87     }
88     return 0;
89 }

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