超级钢琴 BZOJ 2006

Posted 2020-09-08 草根柴鸡

超级钢琴

【问题描述】

小Z是一个小有名气的钢琴家，最近C博士送给了小Z一架超级钢琴，小Z希望能够用这架钢琴创作出世界上最美妙的音乐。 这架超级钢琴可以弹奏出n个音符，编号为1至n。第i个音符的美妙度为Ai，其中Ai可正可负。 一个“超级和弦”由若干个编号连续的音符组成，包含的音符个数不少于L且不多于R。我们定义超级和弦的美妙度为其包含的所有音符的美妙度之和。两个超级和弦被认为是相同的，当且仅当这两个超级和弦所包含的音符集合是相同的。 小Z决定创作一首由k个超级和弦组成的乐曲，为了使得乐曲更加动听，小Z要求该乐曲由k个不同的超级和弦组成。我们定义一首乐曲的美妙度为其所包含的所有超级和弦的美妙度之和。小Z想知道他能够创作出来的乐曲美妙度最大值是多少。

【输入格式】

第一行包含四个正整数n, k, L, R。其中n为音符的个数，k为乐曲所包含的超级和弦个数，L和R分别是超级和弦所包含音符个数的下限和上限。 接下来n行，每行包含一个整数Ai，表示按编号从小到大每个音符的美妙度。

N<=500,000,k<=500,000

-1000<=Ai<=1000,1<=L<=R<=N且保证一定存在满足条件的乐曲

【输出格式】

只有一个整数，表示乐曲美妙度的最大值。

【样例输入】

4 3 2 3
3
2
-6
8

【样例输出】

11

【样例说明】

共有5种不同的超级和弦：
音符1 ~ 2，美妙度为3 + 2 = 5
音符2 ~ 3，美妙度为2 + (-6) = -4
音符3 ~ 4，美妙度为(-6) + 8 = 2
音符1 ~ 3，美妙度为3 + 2 + (-6) = -1
音符2 ~ 4，美妙度为2 + (-6) + 8 = 4
最优方案为：乐曲由和弦1，和弦3，和弦5组成，美妙度为5 + 2 + 4 = 11。

---

题解：

设三元组 (l, r, i) 表示以 i 为开始，以某个 j (l<j<r) 为结束组成的和弦能到达的最大美妙度

我们记录前缀和 sum，对于以 i 为开始的前缀， sum[i-1] 是确定的，即只要得到最大的 sum[j] (l<j<r)，最大美妙度为 sum[j]-sum[i-1]

即查询 l 到 r 之间的最大的 sum

一开始我们将所有 (i + L - 1, i + R - 1, i) 加入大根堆中，保证和弦长度在 L 到 R 之间

每次取出堆顶的标号，记为s

把这个三元组 (l, r, i) 拆成 (l, s - 1, i) 和 (s + 1, r, i) 两个三元组，再次加入堆中（因为这两个答案也有可能比其他 i 的答案优）

重复这个操作，直到取了k次

 1 #include<cmath>
 2 #include<queue>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<cstring>
 6 #include<iostream>
 7 #include<algorithm>
 8 using namespace std;
 9 const int maxn = 5e5 + 1;
10 int logn;
11 int n, k;
12 int lg[maxn], bin[19];
13 int sum[maxn];
14 inline void Scan(int &x)
15 {
16     char c;
17     bool o = false;
18     while(!isdigit(c = getchar())) o = (c != ‘-‘) ? o : true;
19     x = c - ‘0‘;
20     while(isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - ‘0‘;
21     if(o) x = -x;
22 }
23 struct rmq
24 {
25     int i, v;
26 };
27 rmq maxx[19][maxn];
28 struct interval
29 {
30     int l, r, a, b, v;
31 };
32 inline bool operator < (interval a, interval b)
33 {
34     return a.v < b.v;
35 }
36 priority_queue <interval> q;
37 inline rmq Max(rmq a, rmq b)
38 {
39     return (a.v > b.v) ? a : b;
40 }
41 inline bool operator < (rmq a, rmq b)
42 {
43     return a.v < b.v;
44 }
45 inline void Rmq()
46 {
47     for(int i = 1; i <= logn; ++i)
48         for(int j = 1; j <= n; ++j)
49         {
50             if(j + bin[i] - 1 > n) continue;
51             int k = j + bin[i - 1];
52             maxx[i][j] = max(maxx[i - 1][j], maxx[i - 1][k]);
53         }
54 }
55 inline int Query(int l, int r)
56 {
57     if(l > r) return -1;
58     int len = lg[r - l + 1];
59     return Max(maxx[len][l], maxx[len][r - bin[len] + 1]).i;
60 }
61 int main()
62 {
63     int l, r;
64     Scan(n), Scan(k), Scan(l), Scan(r);
65     logn = log2(n);
66     bin[0] = 1;
67     for(int i = 1; i <= logn; ++i) bin[i] = bin[i - 1] << 1, lg[bin[i]] = 1;
68     for(int i = 1; i <= n; ++i) lg[i] += lg[i - 1];
69     for(int i = 1; i <= n; ++i)
70     {
71         Scan(sum[i]);
72         sum[i] += sum[i - 1];
73         maxx[0][i] = (rmq) {i, sum[i]};
74     }
75     Rmq();
76     interval s;
77     int x, u, v, a, b;
78     for(int i = 1; i <= n - l + 1; ++i)
79     {
80         int a = i + l - 1, b = min(n, i + r - 1);
81         x = Query(a, b);
82         s = (interval) {a, b, i, x, sum[x] - sum[i - 1]};
83         q.push(s);
84     }
85     long long ans = 0;
86     while(k--)
87     {
88         s = q.top();
89         q.pop();
90         ans += s.v;
91         u = Query(s.l, s.b - 1);
92         v = Query(s.b + 1, s.r);
93         if(u > 0) q.push((interval) {s.l, s.b - 1, s.a, u, sum[u] - sum[s.a - 1]});
94         if(v > 0) q.push((interval) {s.b + 1, s.r, s.a, v, sum[v] - sum[s.a - 1]});
95     }
96     printf("%lld", ans);
97 }