tarjan算法求强联通分量

Posted 2020-09-08 我是codel

昨天学到了一个新的算法tarjan算法，感觉最近都没有怎么学习了。。。（最近有个感悟啊，就是学习一定的通过实践来进步的。 现在才明白为什么高中的时候老师强调一定要刷题，当然刷完题目之后的总结也非常地重要！

这个tarjan算法用来求强联通分量，在网上看了几篇blog，然后做了一个题目，感觉这个算法很nice啊。。。

如果没有学这个算法， 我肯定会想直接dfs吧orz... dfs看看是不是每个点能到达连通分量的其他点，好像这样非常麻烦啊，还要记录这个点从哪里来的。。。这样一想，好像直接dfs我做不来啊。。。（orz 太菜了。

那就看看tarjan打野的算法吧。。。

这个算法用到了两个数组（low 和 dfn数组）和 数据结构栈 还有一个标记数组stk[]用来记录一个点是否在栈中，个人认为这两个数组才是这个算法的关键之处！ low用来记录当前连通分量的子树的下标（子树的下标最小，因为我们也是从下标小的点开始dfs 的），dfn用来记录当前这个点被访问的时间，所以在后面的操作中，我们不要去修改dfn的值（因为一个点的被访问时间的确定的啊），我们要修改的是low的值。

算法的步骤大概如下：

step1：初始化low，dfn， low[u]=dfn[u]=++time;

step2:将u压栈并且标记为在栈中 stk[u]=1;

step3：一个for循环找与u相邻的点v，这里分两个情况 （这里就是dfs的模拟）

　　1）如果v未被访问，那么就去dfs（v）,如果存在环的话，会导致 low[v]被更新为子树的根的dfn值，所以dfs结束的时候，我们更新一下low[u]=min(low[v], low[u])，有人会问了，如果没有环呢？没有环就更好办了，没有环的话，v是从u搜索过来的 low[v]的初始值大于low[v]的初始值，所以low[u]=min（low[u], low[v]）并不变。

　　2）如果v已经被访问过，就看看它在不在当前的栈中，如果在，说明v和u同属于一棵子树（那我们更新一下low[v]=min(dfn[u], low[v]) ）

step4：如果一个点的邻边都已经搜索完了，那就从step3跳出来了,这个时候判断一个这个点u的low[u]和dfn[u]是否相等，相等的话说明它是一个强连通分量的根，可以证明一下：如果它不是根的话，那么u的low在step3就已经被更新成了根的dfn，而根的dfn值肯定比low[u]更小的，所以low[u]肯定被更新了且不等于dfn[u]。当low[u]和dfn[u]相等的时候，我们就把压在栈中的同属于一个连通分量的点全部pop，并设stk[u]=0;（表示当前元素已经不在栈中了）。。。因为我们是从节点下标小的点开始dfs的，所以一个联通分量的根节点肯定是节点小下标的点，这样就可以保证pop操作能成功将所有联通分量的点pop出来！