bzoj4028 [HEOI2015]公约数数列

Posted 2020-09-07 wfj_2048

Description

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

1. MODIFY id x: 将 a_{id} 修改为 x.

2. QUERY x: 求最小的整数 p (0 <= p < n)，使得 gcd(a_0, a_1, ..., a_p) * XOR(a_0, a_1, ..., a_p) = x. 其中 XOR(a_0, a_1, ..., a_p) 代表 a_0, a_1, ..., a_p 的异或和，gcd表示最大公约数。

Input

 输入数据的第一行包含一个正整数 n.

接下来一行包含 n 个正整数 a_0, a_1, ..., a_{n - 1}.

之后一行包含一个正整数 q，表示询问的个数。

之后 q 行，每行包含一个询问。格式如题目中所述。

Output

对于每个 QUERY 询问，在单独的一行中输出结果。如果不存在这样的 p，输出 no.

Sample Input

10
1353600 5821200 10752000 1670400 3729600 6844320 12544000 117600 59400 640
10
MODIFY 7 20321280
QUERY 162343680
QUERY 1832232960000
MODIFY 0 92160
QUERY 1234567
QUERY 3989856000
QUERY 833018560
MODIFY 3 8600
MODIFY 5 5306112
QUERY 148900352

Sample Output

6
0
no
2
8
8

HINT

 对于 100% 的数据，n <= 100000，q <= 10000，a_i <= 10^9 (0 <= i < n)，QUERY x 中的 x <= 10^18，MODIFY id x 中的 0 <= id < n，1 <= x <= 10^9.

 

正解：分块。

这题太鬼畜了，完全想不到。。

首先这题正解是分块。我们分好块以后，计算出每个块的$gcd$前缀和和异或前缀和，分别用$g1[i]$和$g2[i]$表示。修改的时候我们就暴力修改整个块，并更新就行了，这里的复杂度，加上之后提到的$map$，复杂度是$O(\sqrt{n}logn)$的。

如何查询？我们记录一个$lastgcd$，表示当前访问的前一个块右端点到序列起点的$gcd$；$lastxor$类似。我们计算一下$\gcd(lastgcd,g1[R[i]])$，表示当前块最后一个端点的$gcd$前缀和。如果这个值与$lastgcd$相等，那么我们可以很快想到，这一个块内的$gcd$前缀和都相等，因为$gcd$是单调不增的。那么我们就是要找到满足$lastgcd*(g2[i] \ xor \ lastxor)=x$的i值，也就是满足$g2[i]=\frac{x}{lastgcd} \ xor \ lastxor$的值。这个我们开一个$map$统计一下$g2[i]$对应的$i$就行了，同时注意这个$map$在预处理和修改时都要更新。如果不满足这个条件呢？我们直接暴力搞整个块就行了。因为我们可以发现，$gcd$减小的时候，每次最小会除$2$，也就是说，$gcd$最多只会减小$log$次。那么我们暴力查询，是可以保证复杂度在$O(\sqrt{n}logn)$的。于是我们的总复杂度就是$O(q\sqrt{n}logn)$的。

$mdzz$这题还卡常数。。我要把$long \ long$改成$int$才能过。。

 

  1 //It is made by wfj_2048~
  2 #include <algorithm>
  3 #include <iostream>
  4 #include <complex>
  5 #include <cstring>
  6 #include <cstdlib>
  7 #include <cstdio>
  8 #include <vector>
  9 #include <cmath>
 10 #include <queue>
 11 #include <stack>
 12 #include <map>
 13 #include <set>
 14 #define inf (1<<30)
 15 #define N (100010)
 16 #define il inline
 17 #define RG register
 18 #define ll long long
 19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
 20 
 21 using namespace std;
 22 
 23 map<int,int>mp[N];
 24 
 25 int a[N],bl[N],LL[N],RR[N],g1[N],g2[N],n,q,totb,block;
 26 char s[12];
 27 
 28 il int gi(){
 29     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
 30     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
 31     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
 32     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
 33     return q*x;
 34 }
 35 
 36 il ll gll(){
 37     RG ll x=0,q=1; RG char ch=getchar();
 38     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
 39     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
 40     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
 41     return q*x;
 42 }
 43 
 44 il int gcd(RG int a,RG int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a; }
 45 
 46 il void work(){
 47     n=gi(),block=sqrt(n),totb=(n-1)/block+1;
 48     for (RG int i=1;i<=n;++i){
 49     a[i]=gi(),bl[i]=(i-1)/block+1;
 50     if (!LL[bl[i]]) LL[bl[i]]=i; RR[bl[i]]=i;
 51     }
 52     for (RG int i=1;i<=totb;++i){
 53     RG int res1=0,res2=0;
 54     for (RG int j=LL[i];j<=RR[i];++j){
 55         g1[j]=res1=gcd(res1,a[j]),g2[j]=res2=res2^a[j];
 56         if (!mp[i][g2[j]]) mp[i][g2[j]]=j;
 57     }
 58     }
 59     q=gi();
 60     while (q--){
 61     scanf("%s",s);
 62     if (s[0]==‘M‘){
 63         RG int id=gi()+1,x=gi(); a[id]=x;
 64         RG int res1=0,res2=0,b=bl[id]; mp[b].clear();
 65         for (RG int j=LL[b];j<=RR[b];++j){
 66         g1[j]=res1=gcd(res1,a[j]),g2[j]=res2=res2^a[j];
 67         if (!mp[b][g2[j]]) mp[b][g2[j]]=j;
 68         }
 69     } else{
 70         RG ll x=gll(); RG int lastgcd=0,lastxor=0,ans=0;
 71         for (RG int i=1;i<=totb;++i)
 72         if (i!=1 && gcd(lastgcd,g1[RR[i]])==lastgcd){
 73             if (x%lastgcd){
 74             lastgcd=gcd(lastgcd,g1[RR[i]]);
 75             lastxor^=g2[RR[i]]; continue;
 76             }
 77             RG ll k=(x/lastgcd)^lastxor;
 78             if (k<=inf){
 79             RG int v=mp[i][k];
 80             if (v){ ans=v; break; }
 81             }
 82             lastgcd=gcd(lastgcd,g1[RR[i]]);
 83             lastxor^=g2[RR[i]];
 84         } else{
 85             for (RG int j=LL[i];j<=RR[i];++j){
 86             lastgcd=gcd(lastgcd,a[j]),lastxor^=a[j];
 87             if ((ll)lastgcd*(ll)lastxor==x){ ans=j; break; }
 88             }
 89         }
 90         if (ans) printf("%d\n",ans-1); else puts("no");
 91     }
 92     }
 93     return;
 94 }
 95 
 96 int main(){
 97     File("gcd");
 98     work();
 99     return 0;
100 }