[通信原理笔记]当我们学通信原理的时候，我们在学些什么

Posted 2020-09-06

/* author s1N */

/* 第一次，用卡佛式的标题，很紧张。卡佛读不懂，通信原理也读不懂，我大概是个傻子吧。 */

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一，信号的多项式形式表示

因为频谱分析时关心的是频率成分的大小，应此，我们希望多项式各项均为的函数即：

                                 

      是否存在满足这种条件的x呢？

      答案是当然的：

                                

     简单的验证一下：

                            

    同理：

                          

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   更简洁的形式：

   欧拉公式：     

   典型的智商碾压型的数学发现

   可用泰勒展开做简证：

                     

   有了欧拉公式，信号的多项式表示久变得简单了：

   假设有两个信号f(t),g(t)：

                   

         

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          那么我们如何计算这个信号的乘积呢？

         此时我们引入卷积的概念：以多项式相乘为例

         一般方法：

         有没有更简单的方法直接得到各项的系数呢？

                    

                                             /*此处偷懒，用笔写了  ：） */

     

        总结一下：

        1).反褶：通常为降幂排列，所以令其中一个多项式升幂排列

        2).平移：将反褶的多项式每次向右平移一项

        3).相乘：垂直相乘

        4).求和：相乘所得结果相加

        进一步，分别写出两个多项式的系数矩阵：

       a [1, 1]

       b [1, 2, 5]

  =>c [1, 3, 7, 5]

        由上可归纳出：

        c(0)=a(0)b(0)

        c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)

        c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)

        c(3)=a(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)

        ……………………

  =>    

          

         即是卷积的表达式

         /*思考：杨辉三角中就藏着卷积，你发现了吗？*/

 

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          回到刚才的两个信号的乘法计算，一切都变得简单了：

        

      => [1, 5, 6]*[3, 2] = [3, 17, 28, 12]

      则：

       这种把信号表达式展开成多项式idea方法，其本质就是傅里叶展开：

                 ，其中ck即为傅里叶系数

       

       以频率为横轴，傅里叶系数为纵轴，所得的就是频谱图

       最后，不难得出：信号的时域相乘，即是频域卷积

       总结一下，为了得到两个信号发f(t)和g(t)相乘的结果

       1).将信号由时域变换到频域，分析其频域

       2).对频域进行卷积

       3).将所得的傅里叶系数，反代入结果之中。