数论二·Eular质数筛法

Posted 2020-09-06 蒟蒻ZJO :-)

#1295 : 数论二·Eular质数筛法

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描述

小Ho：小Hi，上次我学会了如何检测一个数是否是质数。于是我又有了一个新的问题，我如何去快速得求解[1,N]这个区间内素数的个数呢？

小Hi：你自己有什么想法么？

小Ho：有！我一开始的想法是，自然我们已经知道了如何快速判定一个数是否是质数，那么我就直接将[1,N]之间每一个数判定一次，就可以得到结果。但我发现这个方法太笨了。

小Hi：确实呢，虽然我们已经通过快速素数检测将每一次判定的时间复杂度降低，但是N个数字的话，总的时间复杂度依旧很高。

小Ho：是的，所以后来我改变了我的算法。我发现如果一个数p是质数的话，那么它的倍数一定都是质数。所以我建立了一个布尔类型的数组 isPrime，初始化都为true。我从2开始枚举，当我找到一个isPrime[p]仍然为true时，可以确定p一定是一个质数。接着我再将N以内 所有p的倍数全部设定为isPrime[p*i]=false。

写成伪代码为：

isPrime[] = true
primeCount = 0
For i = 2 .. N
	If isPrime[i] Then
		primeCount = primeCount + 1
		multiple = 2
		While (i * multiple ≤ N)
			isPrime[i * multiple] = false
			multiple = multiple + 1
		End While 
	End If
End For
  

小Hi：小Ho你用的这个算法叫做Eratosthenes筛法，是一种非常古老的质数筛选算法。其时间复杂度为O(n log log n)。但是这个算法有一个冗余的地方：比如合数10，在枚举2的时候我们判定了一次，在枚举5的时候我们又判定了一次。因此使得其时间复杂度比O(n)要 高。

小Ho：那有没有什么办法可以避免啊？

小Hi：当然有了，一个改进的方法叫做Eular筛法，其时间复杂度是O(n)的。

输入

第1行：1个正整数n，表示数字的个数，2≤n≤1,000,000。

输出

第1行：1个整数，表示从1到n中质数的个数

样例输入

9

样例输出

4

开个ｂｏｏｌ数组ｆ记录ｉ是否为素数。

先全部赋为１，表示这个数为素数。

从２开始筛合数，若ｉ为素数，则ａ＊ｉ，ａ∈ｚ肯定为合数。

对于每一个ｉ，都去筛一遍，只筛素数倍，不筛合数倍，因为每个合数倍的都会被其他的比ｉ大的数筛掉。

然后还有一个优化，假设枚举到的素数为ｐ，当ｐ｜ｉ时就可以break了。

这样可以保证每一个合数ｋ都是被ｋ／它那个最小的质因数筛掉的，证明如下：

假设一个合数k=M*p1，p1为其最小的质因子。则k只会在i=M，primeList[j]=p1时被筛掉一次。

首先会在i=M，primeList[j]=p1时被筛掉是显然的。因为p1是k的最小质因子，所以i=M的所有质因子也≥p1。于是j循环在枚举到primeList[j]=p1前不会break，从而一定会在i=M，primeList[j]=p1时被筛掉

其次不会在其他时候被筛掉。假设k在i=N, primeList[j]=p2时被筛掉了，此时有k=N*p2。

由于p1是k最小的质因子，所以p2 > p1，M > N且p1|N(因为p2|M,N/p1==M/p2)。则i=N，j枚举到primeList[j]=p1时(没到primeList[j]=p2)就break了。所以不会有其他时候筛掉k。

 1 #include<set>
 2 #include<map>
 3 #include<queue>
 4 #include<stack>
 5 #include<ctime>
 6 #include<cmath>
 7 #include<string>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstdio>
10 #include<cstdlib>
11 #include<cstring>
12 #include<iostream>
13 #include<algorithm>
14 #define maxn 1000010
15 using namespace std;
16 bool f[maxn];
17 int su[maxn];
18 int main()
19 {
20   freopen("!.in","r",stdin);
21   freopen("!.out","w",stdout);
22   int n,num=0;
23   scanf("%d",&n);
24   for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=1;
25   for(int i=2;i<=n;i++){
26     if(f[i]==1) su[++num]=i;
27     for(int j=1;j<=num;j++){
28       if(i*su[j]>n)break;
29       f[i*su[j]]=0;
30       if(i%su[j]==0) break;
31     }
32   }
33   printf("%d",num);
34   return 0;
35 }