计算网格连通图的轮廓

Posted 2023-04-14

参考技术A         首先介绍一些问题的背景。当需要聚合一堆坐标点时，我们可以选择用网格法。即将包含所有坐标点的最小矩形分为m*n的网格，即将矩形分为m列n行，找出格子内点数满足阈值范围的所有格子。然后将找出来的格子计算八连通图。步骤示意图如下：

1.给一堆坐标点

2.找出能包含所有点的一个最小矩形

3.将矩形按列m=4，行n=2 分为一个4*2的网格

4.将格子内点数大于2的格子过滤出来（红色格子），算八连通图，图中两个格子是八连通图

      了解了相关背景，接下来说下我们要解决什么。我已经知道下图中的所有红色格子是一个八连通图，现在想绘制出该连通图的轮廓(不同于凸包)，如蓝线所示：

     具体的实现思路是：

1.首先建立坐标轴，按第四象限为正，每个格子间隔设为1，黄色点的坐标作为每个格子的标识符。

2.根据每个格子的索引坐标及格子间隔1，将每个格子的四个坐标点都找出来，然后按照从左到右，从上到下的顺序将每个格子的边表示出来（为了方便，将格子编号）。如格子1，按顺时针方向四个坐标分别是（0，0），（1，0），（1，1），（0，1），对应的边：（0，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（0，0，0，1）。总的边数是24。

3.将所有格子的所有边都统计出来后，将重复的边全部去掉（只要重复出现，就都不要了），就能将被重复使用过的边去掉。如图黄色虚线是重复的边，则将这些边删掉，去重后剩下20条边。

4.接下来随机选一个坐标点作为初始点，这里我选择（0，0），然后按照顺时针（逆时针也可以）的方向扫描，优先级设为上 > 右 > 下 > 左，将所有去重后的边（20条）存到一个数组中，从初始点开始按顺序移动点，每访问一条边就将该边删除，并将每一步所移动到的点的坐标存到另一个数组中，当存边的数组为空时扫描结束，即得到网格连通图的轮廓。操作中边的变化示意图如下：

         这里需要注意一点，进行到第（7）步时，扫描点位于（1，1），但是此时（1，1）相邻的三条边都已经访问过了。而这时还有四条边没有访问，循环没有结束。这时，可以从剩下的边中任意选择一个点，继续按顺时针扫描。如果又遇到这样的情况，同理继续从剩下的边中任意选点扫描。直到存边的数组为空，则扫描结束，得到了最终网格连通图的轮廓，如图（8）所示。

图的相关算法（二）：最小生成树算法

参考技术A

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。

例如，对于上图中的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想 ：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法 ：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依照权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使得森林不产生回路，直到森林变成一棵树为止。

以图G4为例（更详细的可以参考《算法导论》p367），对Kruskal进行演示（假设，用数组R保存最小生成树结果）。

第1步 ：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步 ：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步 ：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步 ：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步 ：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步 ：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： <E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B> 。

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一用排序算法排序即可。
问题二，处理方式：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

普里姆（Prim）算法，也是求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想
对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。从所有的 uЄU ，vЄ(V-U)（V-U表示除去U的所有顶点）的边中选取权值最小的边（u，v），将顶点v加入U中，将边（u,v）加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，此时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

以上图G4为例，来对普里姆进行演示(从第一个顶点A开始通过普里姆算法生成最小生成树)。

初始状态 ：V是所有顶点的集合，即V=A,B,C,D,E,F,G；U和T都是空！
第1步 ：将顶点A加入到U中。
此时，U=A。
第2步 ：将顶点B加入到U中。
上一步操作之后，U=A, V-U=B,C,D,E,F,G；因此，边(A,B)的权值最小。将顶点B添加到U中；此时，U=A,B。
第3步 ：将顶点F加入到U中。
上一步操作之后，U=A,B, V-U=C,D,E,F,G；因此，边(B,F)的权值最小。将顶点F添加到U中；此时，U=A,B,F。
第4步 ：将顶点E加入到U中。
上一步操作之后，U=A,B,F, V-U=C,D,E,G；因此，边(F,E)的权值最小。将顶点E添加到U中；此时，U=A,B,F,E。
第5步 ：将顶点D加入到U中。
上一步操作之后，U=A,B,F,E, V-U=C,D,G；因此，边(E,D)的权值最小。将顶点D添加到U中；此时，U=A,B,F,E,D。
第6步 ：将顶点C加入到U中。
上一步操作之后，U=A,B,F,E,D, V-U=C,G；因此，边(D,C)的权值最小。将顶点C添加到U中；此时，U=A,B,F,E,D,C。
第7步 ：将顶点G加入到U中。
上一步操作之后，U=A,B,F,E,D,C, V-U=G；因此，边(F,G)的权值最小。将顶点G添加到U中；此时，U=V。

此时，最小生成树构造完成！它包括的顶点依次是：A B F E D C G。