一个环上的染色问题

Posted 2020-09-06

学高中数学组合计数的时候经常在那本实验班里碰到这个问题：给一个n元环用k种颜色染色，相邻位置不同色，求方案数。高中遇到这个问题的时候n和k都是很小的，因为一般都是讨论讨论瞎计数做掉。当时某吴姓同学经常说有个公式……但是那个时候我并不知道怎么推出来。今天中午吃饭的时候又看到一个讲这个问题的帖子，所以自己整理了一下发现做法还是挺多的。这个也算是经典问题了吧?

 

(n=4,k=2的情况，有2种方案)

首先我们可以直接写出一个dp：不妨设1号点染的色是1号颜色（最终答案乘个k）设f[i,j]表示对前i个点染色，其中最后一个点染的颜色编号为j的方案数。则f[1,1]=1,f[1,j]=0(j>1).转移方程是,答案是

观察这个方程可以发现，由于对称性，f[i,2]=f[i,3]=...=f[i,k],于是可以设g[i]=f[i,1],h[i]=f[i,j](j>1)，然后有f[i]=(k-1)g[i-1],g[i]=(k-2)g[i-1]+f[i-1],答案为k(k-1)g[n].写出转移矩阵

解出转移矩阵的两组特征根和特征向量

分解初始条件的向量

于是

//群里还看到NBC说了一个做法:如果不考虑1号点与n号点不同色这一限制的话（也就是把环断成链），答案是k(k-1)^n-1，然后要减去1号点与n号点不同色的方案数，发现这就是一个(n-1)元环的k染色，迭代一下之后用等比数列求和也可以做出来。但是因为输公式实在太精神污染了这个很好算，就不写了。注意有个坑：迭代应该在n=2,答案为k(k-1)的时候结束，因为n=2向n=1的转化是不成立的

啊啊啊公式怎么这么难输啊我要学markdown