[51nod1244]莫比乌斯函数之和
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题意:求区间[a,b]的莫比乌斯函数µ之和。 a,b<=$10^{11}$
题解:很容易把区间求和改为求前缀和并求差,即要求$M(x)=\\sum_{1}^{n}\\mu(x)$考虑化简
莫比乌斯函数存在一个性质,也就是$\\sum_{d|n}^{ } \\mu(d)= [n=1]$,那么$\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{d|i}^{ } \\mu(d)= 1$
这个式子比较复杂,我们转而考虑对于每一个d,它被计算了多少次,也就是$\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{d=1}^{\\lfloor n/i \\rfloor} \\mu(d)$ ,这个式子=$\\sum_{i=1}^{n}M(\\lfloor n/i \\rfloor)$=1 所以说,$M(n)=1-\\sum_{i=2}^{n}M(\\lfloor n/i \\rfloor)$
$\\lfloor n/i \\rfloor$/i只有$\\sqrt(n)$种,复杂度在预处理出前$k=n^{\\frac{2}{3}}$的M值时最小,然后记忆化搜索可以在$O(n^{\\frac{2}{3}})$内解决。
我们发现在计算中$\\lfloor n/i \\rfloor$有很多会被重复计算,所以可以手写一个map来极大地提升效率。
第一次用latex写公式,还好有个很牛逼的网站
估计是模数选的好,随便写写RANK1啦。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #define MAXN 5000000 #define mod 2333333 #define ll long long using namespace std; inline ll read() { ll x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<\'0\'||ch>\'9\'){if(ch==\'-\') f=-1;ch=getchar();} while(ch>=\'0\'&&ch<=\'9\'){x=x*10+ch-\'0\'; ch=getchar();} return x*f; } struct my_map{ ll x;int ans,next; }e[MAXN+5]; int f[MAXN+5],ans=0,num=0,s[MAXN],head[mod+5]; bool b[MAXN+5]; void ins(ll x,int sum) { int j=x%mod; e[++num]=(my_map){x,sum,head[j]}; head[j]=num; } int calc(ll n) { if(n<=MAXN) return f[n]; for(int i=head[n%mod];i;i=e[i].next) if(e[i].x==n)return e[i].ans; int sum=1,q=sqrt(n); for(int i=2;i<=q;i++) sum-=calc(n/i); q=n/(q+1); for(int i=1;i<=q;i++) sum-=(n/i-(n/(i+1)))*calc(i); ins(n,sum); return sum; } int main() { f[1]=1;b[1]=1; for(int i=2;i<=MAXN;i++) { if(!b[i]) s[++num]=i,f[i]=-1; for(int j=1;j<=num&&s[j]*i<=MAXN;j++) { int t=s[j]*i; b[t]=1; if(i%s[j]==0){f[t]=0;break;} f[t]=-f[i]; } } for(int i=2;i<=MAXN;i++) f[i]+=f[i-1]; num=0; ll x=read();ans-=calc(x-1); x=read();ans+=calc(x); cout<<ans; return 0; }
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