经典题目鬼谷子问徒

Posted 2020-09-06 雪山上的蒲公英

解了好久结果深入不进去了，只能求助百度，唉，笨蛋一个

一段无厘头的对话，暗含曲折的推理，在哥德巴赫大神的指引下，居然能神奇地得出结论。禁不住想：数字到底是人造的、还是神造的？
---- 进入正题 ----
鬼谷子是孙膑、庞涓的老师，他从2到99中选出两个不同的整数，把两数之和S告诉了庞涓、把两数的乘积M告诉了孙膑。
1、庞涓对孙膑说：虽然我无法确定这两个数是什么，但我肯定你也不知道这两个数是什么。
2、孙说：我本来不知道，但是你这么说，我就知道了。
3、庞说：既然你知道了，那我也就知道了。
问：这两个数字是什么？
（题目到此戛然而止，如果是在考试的话，是不是有种被雷劈中、然后坠入万丈深渊的感觉？）
---- 推理步骤 ---- 其实就是推导三句话的数学含义
　　1、庞涓知道两数之和S，就敢说孙膑一定不知道，这意味着：这个和数S不是两个素数(质数)的和，否则孙膑就有可能猜出答案。
例如，庞涓的和S不能是16，否则万一两个数是5+11，孙膑拿着乘积M=55肯定能猜出来。再如，和也不能是15，因为可能是2+13，孙膑拿着26也能猜出来…等等。
因此这句话大大限制了庞涓可能拿到的和数S。原则上可以从2+3一直试到98+99，试出所有可能的和。但不用这么麻烦，哥德巴赫猜过：所有大于4的偶数都可以写成两个素数的和，所以庞涓的和S只能是奇数(一下子少了一半吔)。
(顺便说一句，哥猜还没有被最终证明，但计算机科学家们好像已经通过粗鲁的硬算，验证到10的100次方以内都是成立的。哥大神，你这么会猜，能猜六合彩不？)
但奇数和仍然有很多，怎么能简便写出所有可能的和数{Si}呢？
我家的王可意小朋友说：奇数和必然是一个偶数+一个奇数(聪明，有前途)，所以鬼老师必然是选了一奇一偶的两个数。而且，别忘了，这两个数不能同为素数。
不妨来试一下，如果偶数大于等于4，它本身就不是素数，这样对另外一个奇数就没有任何限制了，也就没法缩小可能的和数{Si}的范围。
好在有个特别二的2，它既是偶数，又是素数，庞涓的和数S总是可以拆分为2+一个奇数，这时奇数就必须是非素数，即9、15、21、25、27、33…，而可能的和数{Si}就可以简便地写出来，即11、17、23、27、29、35…
这就是第一句话告诉我们的，庞涓同学的和数S只能是上面这些数当中的一个。
（微言大义啊，抹把汗，继续第二句）
　　2、孙膑同学作为兵圣孙子的后代，电光火石之间已经猜到可能的和数{Si}，又风驰电掣地将每个和拆分为所有可能的两个数，再得出对应的可能的乘积{Mj}si（即每一个Si都对应一组Mj）。
例如，如果庞涓和是11，可能的积就是2*9=18、3*8=24、4*7=28、5*6=30。如果庞涓和是17，可能的积就是2*15=30、3*14=42、4*13=52、5*12=60、6*11=66、7*10=70、8*9=72……
接下来再跟鬼老师告诉自己的乘积一对比，只有一个能对上，不是它，还能是谁？
(孙膑心想，怎么这么巧，我手上的乘积刚好只出现了一次，而不像30=5*6也=2*15这样出现一次以上。如果我的乘积是30，就猜不出到底是5*6、还是2*15了。嗯，这手气得去买体彩啊！结果孙膑买彩票输惨了，回来给鬼老师哭诉，鬼老师哭笑不得：这那是手气呢？明明是题目给定的条件，不然哪里有解？这个月吃泡菜吧。)
可气的是，各位看官，我们不知道这孙子的孙子的孙子到底拿到的乘积M是多少，而只出现一次的乘积有很多，例如2*9=18、3*8=24、4*7=28、4*13=52、4*19=76……都只出现一次(大家动手试试，可以将庞涓可能的和数{Si}所对应的可能的积{Mj}si都写出来)，所以我们还是不知道答案，还得再看庞涓第三句话怎么说。
　　3、更气人的，庞涓这会也猜出答案了。他知道他的和数S，他只需将和数S拆分为两个数并得出乘积，如果有且仅有一个乘积是与其它所有{Mj}si都不相同的，就可以判定了。但苍天啊、大地啊，我们既不知道庞涓的和数S，也不知道孙膑的乘积M，这咋办呢？
这时奇迹出现了，冥冥之中，自有定数。若你写出所有可能的和数{Si}所对应的所有可能的乘积{Mj}si，就会发现，只有和数S=17这一组中不重复的乘积是唯一的，即4*13=52，所有其它和数S‘对应的乘积组中，都有多个不重复的乘积，例如和数=11这一组有2*9=18、3*8=24、4*7=28都是唯一的乘积，和数=23这组有4*19=76、7*16=112都是唯一的乘积。如果摊上这些和数的话，庞涓是猜不出来的。所以答案只可能是4和13！

 

 

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