自适应滤波——第二章：维纳滤波器

Posted 2020-09-06 桂。

作者：桂。

时间：2017-03-23  06:28:45

链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6603263.html 

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 【读书笔记02】

前言

仍然是西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版，距离上次看这本书已经过去半个月，要抓点紧了。本文主要包括：

　　1）何为维纳滤波器（Wiener Filter）;

　　2）Wiener滤波器的推导；

　　3）应用实例；

　　4）Wiener变体；

内容为自己的学习总结，内容多有参考他人，最后一并给出链接。

 

一、维纳滤波器简介

　　A-基本概念

对于滤波器的具体实现，都依赖两个选择：

1）Filter的impulse选择（FIR / IIR）

2）统计优化准则的选择

维纳滤波器：由数学家维纳（Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方（统计准则）为最优准则的线性滤波器。何为线性滤波器？文中图：

　　B-几个问题

在具体讨论之前，先来说说自己看的时候，想到的几个问题：

问题1：维纳滤波器与自适应滤波是什么关系，与LMS呢？

个人观点：常用的hamming、taylor都是固定的滤波器，滤波器参数需要根据信号进行计算调整的，这一类滤波器都是自适应滤波器，跟自己有关嘛，自适应理所当然，维纳滤波器是利用统计参数，实际应用中可能无法得到，需要借助迭代实现，这样就成了一个新框架→自适应滤波器。参数估计呢可以利用梯度下降法迭代逼近，例如常说的LMS就是迭代逼近的一种方式，LMS本身不同于weiner-filter，但迭代结果可以作为wiener-filter的近似。

问题2：维纳滤波器是有限长（FIR-Finite Impulse Response）还是无限长滤波器（IIR-Infinite Impulse Response）？

个人观点：维纳滤波器是大的理论框架，而FIR/IIR只是实现理论的不同途径，故二者均可，下文会一一介绍。

问题3：基于维纳滤波器这个理论框架的应用有哪些？

个人观点：1）自适应是一种解决工程问题的途径，故很多自适应滤波本质都是维纳滤波（不是全部）；2）MVDR谱估计（Minimum variance distortionless response）、广义旁瓣相消GSC（Generalized Sidelobe Canceller ）等都是维纳框架下的应用。

问题4：卡尔曼滤波（Kalman）是维纳滤波的一种吗？

个人观点：应该不是，维纳滤波器是线性滤波器，而卡尔曼滤波器据说是非线性，具体区别等看到卡尔曼再回头总结。

 

二、维纳滤波器理论分析

　　A-有限长维纳滤波（FIR）

1-基本定义

下图是使用M抽头FIR滤波器的结构图：

输出为：

$\\hat d\\left( n \\right) = \\sum\\limits_{k = 0}^{M - 1} {{h_k}y\\left( {n - k} \\right)} $

其中$h_k$为FIR滤波器系数，M为系数个数。

以下推导基于宽平稳假设，首先计算估计误差：

$e\\left( n \\right) = d\\left( n \\right) - \\hat d\\left( n \\right) = d\\left( n \\right) - {{\\bf{h}}^T}{\\bf{y}}$

其中${{\\bf{h}}^T} = \\left[ {{h_0},{h_1},{h_2},...,{h_{M - 1}}} \\right]$，${{\\bf{y}}^T} = \\left[ {y\\left( n \\right),y\\left( {n - 1} \\right),y\\left( {n - 2} \\right),...,y\\left( {n - M + 1} \\right)} \\right]$是包括过去M个样本的输入向量。

Wiener Filter基于最小均方误差准则，给出均方误差定义：

其中，${\\bf{r}}_{yd}^{ - 1} = E\\left[ {{\\bf{y}}d\\left( n \\right)} \\right]$为输入信号与期望信号的互相关。

2-维纳滤波器求解

最小化估计误差，对其中某个抽头系数求偏导：

$\\frac{{\\partial J}}{{\\partial {h_k}}} = 0\\;\\;\\; \\Rightarrow \\;\\;\\; - 2E\\left[ {e\\left( n \\right)y\\left( {n - k} \\right)} \\right] = 0$

这就是正交定理（Orthogonality Principle）：估计误差$e(n)$需要正交与输入信号$y(n)$。这也容易理解，在输入信号$y(n)$张成的子空间中，更加高维的信息无法被表达，故成了误差。如$（x_1,y_1,z_1）$用$x 、 y$两个单位向量表达，最小均方误差时$z_1$就成了估计误差。

不失一般性，将偏导写成向量/矩阵形式：

$\\frac{{\\partial J}}{{\\partial {\\bf{h}}}} = 0\\;\\;\\; \\Rightarrow \\;\\;\\; - 2{\\bf{r}}_{yd}^{ - 1} + 2{{\\bf{h}}^T}{{\\bf{R}}_{yy}} = 0$

上式${{\\bf{h}}^T}{{\\bf{R}}_{yy}} = {\\bf{r}}_{yd}^{ - 1}$就是Wiener Hopf方程。

得到Wiener Filter最优解${{{\\bf{h}}_{opt}}}$:

${{\\bf{h}}_{opt}}{\\rm{ = }}{\\bf{R}}_{_{yy}}^{{\\rm{ - 1}}}{\\bf{r}}_{yd}^{ - 1}$

上式就是Wiener-Hopf的解，也就是对应Wiener Filter的解。求解需要矩阵求逆，又相关矩阵为对称且为Toeplitz形式，故可借助数学手段对R高效求逆——Levinson-Durbin算法。

因为在时域分析，此时FIR的解也叫时域维纳滤波器。

　　B-无限长维纳滤波（IIR）

1-基本定义

滤波器为无限长时，$\\hat d\\left( n \\right) = \\sum\\limits_{k = 0}^{M - 1} {{h_k}y\\left( {n - k} \\right)}$改写为：

$\\hat d\\left( n \\right) = \\sum\\limits_{k =  - \\infty }^\\infty  {{h_k}y\\left( {n - k} \\right)}  = h\\left( n \\right) * y\\left( n \\right)$

$*$表示卷积。易证：时域有限长对应频域无限长，时域无限长对应频域有限长，因此对于IIR情形，更希望在频域进行分析。

2-维纳滤波器求解

计算均方误差：

其中${E\\left( {{\\omega _k}} \\right)}$为$e\\left( n \\right)$的频域变换，${P_{yd}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) = E\\left[ {Y\\left( {{\\omega _k}} \\right){D^*}\\left( {{\\omega _k}} \\right)} \\right]$, ${P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) = E\\left[ {{{\\left| {Y\\left( {{\\omega _k}} \\right)} \\right|}^2}} \\right]$。

针对J求解复导数：

$\\frac{{\\partial J}}{{\\partial H\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = 0\\;\\;\\; \\Rightarrow \\;\\;\\;{H^*}\\left( {{\\omega _k}} \\right){P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) - {P_{yd}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) = 0$

得到频域维纳滤波最优解：

${H_{opt}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) = \\frac{{{P_{dy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}$

因为在频域分析，此时IIR的解也叫频域维纳滤波器。

 

三、应用实例

已知：

含有噪声的正弦波：$y(n) = s(n) + w(n) = \\sin (2\\pi fn + \\theta ) + w(n)$.

其中$f = 0.2$为归一化频率[-1/2, 1/2]，$\\theta$为正弦波相位，服从[0,2$\\pi$]的均匀分布，$w(n)$为具有零均值和方差$\\sigma^2 = 2$的高斯白噪声。

求：

时域以及频域维纳滤波器。假设滤波器为时域滤波器时$M=2$.

 

　　A-对于时域维纳滤波器：

首先求解相关矩阵：

$x(n)$为广义平稳随机过程，可以计算其自相关函数：

${r_{xx}}\\left( m \\right) = \\cos (2\\pi fn)$

利用上面推导的Wiener-Hopf最优解公式：

当然也可以求解准则函数$J$,求极值点：

　　B-对于频域维纳滤波器：

白噪声与信号不相关，直接调用上文推导的公式：

$H\\left( {{\\omega _k}} \\right) = \\frac{{{P_{xy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) + {P_{nn}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) + 2}}$

时域相关函数与频域功率谱互为傅里叶变换，而时域相关函数在求时域维纳滤波时已写出，得出功率谱公式：

当$L -> \\infty $，将$P_{xx}$代入上式，即使频域维纳滤波器的解。

　　C-闲话时域、频域维纳滤波器

时域求解维纳滤波器，但时域对应的都有频域的变换结果，如$L = 2$的频域解就是时域维纳解的傅里叶变换。画出$L$不同取值对应的频域幅度响应：

可以观察到：$L$趋近∞时，频域响应接近$\\sigma(.)$冲激响应，这与理论：相关函数为时域余弦对应频域冲激响应是一致的。

这个例子只是理想情况，理一理求解的思路，事实上认为信号的自相关为已知，这是不符合实际的。实际应用中如何近似求解呢？给出一个简单例子。

　　D-基于频域维纳滤波的语音增强

还是利用上面的模型:

$y(n) = x(n) + w(n)$

这里$y(n)$是麦克风接收的带噪语音，$x(n)$是干净语音信号，$w(n)$为白噪声。显然相关函数我们无法得知。

利用一种近似的处理思路：利用前面几个分帧不带语音，估计噪声，从而得到噪声的功率谱近似，利用带噪语音功率减去噪声功率，得到

$H\\left( {{\\omega _k}} \\right) = \\frac{{{P_{xy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) + {P_{nn}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) - {P_{nn}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}$

利用估计出的维纳滤波器，即可实现信号的频域滤波。这里只是想到的一个实际例子，至于参数估计、迭代方式则是百花齐放了。

附上主要代码：

nw = 512; ni = 64;
NIS = 100;
Y = fft(enframe(y,hamming(nw),ni)\');
Yab = abs(Y);
Nest = mean(Yab(:,1:NIS),2);
Yest = zeros(size(Y));
for i = 1:size(Y,2)
    Yest(:,i) = Yab(:,i).*((Yab(:,i)-Nest)./Yab(:,i));
end
Ye = Yest.*exp(1j*angle(Y));
result = zeros(1,length(y));%estimation
for i =1:size(Y,2);
    pos = ((i-1)*ni+1):((i-1)*ni+nw);
   result(pos) = result(pos)+real(ifft(Ye(:,i))).\'; 
end
result = result/max(abs(result));

上面思路处理结果：

可以看出维纳降噪多少还是有些效果的，$H\\left( {{\\omega _k}} \\right) = \\frac{{{P_{xy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) + {P_{nn}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{1}{{1 + 1/SNR}}$可以看出SNR越小，维纳滤波器衰减越大。

 

四、Wiener Filter变体

　　A-平方根维纳滤波

使用维纳滤波器的平方根，则滤波器在频域的滤波结果为：

$\\hat X\\left( {{\\omega _k}} \\right) = \\sqrt {H\\left( {{\\omega _k}} \\right)} Y\\left( {{\\omega _k}} \\right)$

仍然基于噪声与信号不相关的假设，分析滤波后信号的功率谱：

$E{\\left| {\\hat X\\left( {{\\omega _k}} \\right)} \\right|^2} = {P_{\\hat x\\hat x}} = H\\left( {{\\omega _k}} \\right)E{\\left| {Y\\left( {{\\omega _k}} \\right)} \\right|^2} = H\\left( {{\\omega _k}} \\right){P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) = {P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)$

可见采用平方根维纳滤波，滤波器输出信号的功率谱与纯净信号的功率谱相等。

　　B-参变维纳滤波器

以频域Wiener Filter为例：

$H\\left( {{\\omega _k}} \\right) = \\frac{{{P_{xy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{yy}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}} = \\frac{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) + {P_{nn}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}$

很自然地，可以将其扩展为广义Wiener Filter形式：

$H\\left( {{\\omega _k}} \\right) = {\\left( {\\frac{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}{{{P_{xx}}\\left( {{\\omega _k}} \\right) + \\alpha {P_{nn}}\\left( {{\\omega _k}} \\right)}}} \\right)^\\beta }$

这样通过调节（$\\alpha$,$\\beta $ ）即可对滤波器进行微调。

 

参考：

Philipos C.Loizou《speech enhancement theory and practice》.

Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.