poj 2773 Happy 2006

Posted 2020-09-06 日拱一卒 功不唐捐

Happy 2006

http://poj.org/problem?id=2773

Time Limit: 3000MS		Memory Limit: 65536K

Description

Two positive integers are said to be relatively prime to each other if the Great Common Divisor (GCD) is 1. For instance, 1, 3, 5, 7, 9...are all relatively prime to 2006. 

Now your job is easy: for the given integer m, find the K-th element which is relatively prime to m when these elements are sorted in ascending order. 

Input

The input contains multiple test cases. For each test case, it contains two integers m (1 <= m <= 1000000), K (1 <= K <= 100000000).

Output

Output the K-th element in a single line.

Sample Input

2006 1
2006 2
2006 3

Sample Output

1
3
5

Source

POJ Monthly--2006.03.26,static

 

题意：求与n互质的第k个数

 

性质：若a，b互质，则a+b，b互质；若a，b不互质，则a+b，b不互质

由此可以推出，与n互质的数具有周期性：

即[1,n]与n互质的数，每个+n即可得到[n+1,2n]与n互质的数，可继续推广

所以我们只需要求出第一个周期内与n互质的数

然后ans=n*周期数+第k%φ（n）个与n互质的数

所以要求出[1,n]内与n互质的所有数

 

有一个小处理：如果k恰好为周期数的倍数，那么取余后为0，

所以，特殊处理，将周期数-1，再在本周期内求第φ（n）个

 

法一：

从n*周期数+1开始枚举，判断gcd（）是否等于1，直至=1的个数达到k%φ（n）个

周期数=k/φ（n），

由于多组数据，可以欧拉筛先筛出数据范围内所有的欧拉函数值，然后O（1）使用

也可以一个一个算

我只写了第一种，Memory：5380K，Time：1579ms

#include<cstdio>
#define N 1000001
using namespace std;
int n,k,cnt,prime[N],phi[N],t,m;
bool v[N],ok;
void get_euler()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            v[i]=true;
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N) break;
            v[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int gcd(int a,int b)
{
    return !b ? a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    get_euler();
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        if(n==1)
        {
            printf("%d\n",k);
            continue;
        }
        ok=false;
        m=k/phi[n];
        t=k-phi[n]*m;
        if(!t) m--,t=phi[n];
        for(int i=n*m+1;;i++)
        {
            if(gcd(n,i)==1) t--;
            if(!t)
            {
                printf("%d\n",i);
                break;
            }
        }
    }
}

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法二：

埃氏筛法可以保留每个数是否与n互质，

所以对于每一组数据，都做一次埃氏筛法

然后从1开始枚举，枚举到第k%φ（n）个与n互质的数i，

ans=i+周期数*n

Memory:1156K，Time：16ms

它比法一快，因为可以O（1）判断是否与n互质，法一要gcd（）判断

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
bool check[1000001];
int euler(int n)//埃式筛法模板 
{
    int m=int(sqrt(n+0.5));
    int ans=n,k=n;
    memset(check,0,sizeof(check));
    for(int i=2;i<=m;i++)
     if(n%i==0)
     {
         ans=ans/i*(i-1);
         for(int j=1;i*j<=k;j++)
          check[i*j]=true;
         while(n%i==0) n/=i;
     }
    if(n>1)
    {
        ans=ans/n*(n-1);
        for(int j=1;n*j<=k;j++) 
         check[n*j]=true;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int m,k,ans,cnt,t,i;
    while(scanf("%d%d",&m,&k)!=EOF)
    {
        ans=euler(m);
        cnt=0;
        if(k%ans==0) t=k/ans-1;
        else t=k/ans;
        k=k-ans*t;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            if(!check[i]) cnt++;
            if(cnt==k) break;
        }
        printf("%d\n",i+m*t);
    }
}

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