关于欧拉筛筛素数

Posted 2020-09-05 Der Barde, Nietzsche

观察如下欧拉筛代码：

 1 const int MAXN=30000001;
 2 int prime[MAXN];
 3 bool vis[MAXN];
 4 int Prime(int n){
 5     int cnt=0;
 6     memset(vis,0,sizeof(vis));
 7     for(int i=2;i<n;i++){
 8         if(!vis[i])
 9         prime[cnt++]=i;
10         for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++){
11             vis[i*prime[j]]=1;
12             if(i%prime[j]==0)
13                 break;
14         }
15     }
16     return cnt;
17 }

发现其流程如下：

• 从1至n枚举,对于元素i：
  • 　　判断其是否已被筛除？否，则已经确定其为质数
  • 　　枚举不大于i的最小质因子的质数：
    • 　　将i与这些质数的乘积筛除；

充分性：

——为什么流程第2行是正确的呢？

任意合数k可表示为其 最小质因子pj 与 数i 相乘（i：质数or合数）

且pj小于等于 数i 的最小质因子（否则该质因子才是k的最小质因子）

所以只要数i被枚举，合数k即被筛除（见流程3,4行）

由于i一定小于k,故当枚举到合数k时，她已经被删除啦（见流程1行）

即，该流程满足使所有合数被数i与该合数最小质因子pj相乘的情况筛去

效率：

——为什么这样快？

在流程中，统计筛操作的次数：

由于合数k只被数i与该合数最小质因子pj相乘的情况筛去

（当另一个数l想要与k的另一个大点的质因子pm筛去k时，她惊奇地发现她的最小质因子比pm大——因为pj正是她的最小质因子——这就意味着她不能筛k）

所以所以合数只被筛了一次；

视为O(n)的效率

附上一个筛数的流程：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

 

枚举至2，并筛除：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

质数：2；

枚举至3，并筛除：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

质数：2，3；

枚举至4，并筛除：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

质数：2，3；

枚举至5，并筛除：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

质数：2，3，5；

枚举至6，并筛除：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

质数：2，3，5；

枚举至7，并筛除：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

质数：2，3，5，7；

 

然后重复以上过程，筛除，并记录质数；

（由于最小质数2,与8相乘已经大与15，故该筛的早已筛了，现在主要是记录质数，但流程还得继续啊）