谢启鸿老师思考题及解答合集

Posted 2020-09-05 Focus的数学世界

谢启鸿老师思考题及解答合集

问题与解答汇总

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问题2017S01：设$A$是$n$阶对合阵,即$A^2 = I_n$.

证明$n - \\text{tr}(A)$为偶数,并且$\\text{tr}(A) = n$当且仅当$A = I_n$

 

解答：问题2017S01解答

 

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问题2017S02:

设方阵$A = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & a & a & 0 \\\\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\\\0 & 1 & 0 & 0 \\end{pmatrix}$可对角化,求$a$的值.

 

解答：问题2017S02解答

 

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问题2017S03：设$A_1,\\cdots,A_n \\in M_n(\\mathbb{K}),g(x) \\in \\mathbb{K}[x],$使得$g(A_1),\\cdots,g(A_n)$都是非异阵.证明:存在$h(x) \\in \\mathbb{K}[x]$,使得$g(A_i)^{-1} = h(A_i)$对所有的$1 \\le i \\le m$都成立.

 

解答：问题2017S03解答

 

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问题2017S04：设 $A=(a_{ij})$为$n$阶复矩阵,证明:存在正数$\\delta$,使得对任意的$s\\in(0,\\delta)$,下列矩阵均可对角化:

\\[A(s)=\\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \\cdots & a_{1n} \\\\ a_{21} & a_{22}+s^2 & \\cdots & a_{2n} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots \\\\ a_{n1} & a_{n2} & \\cdots & a_{nn}+s^n \\end{pmatrix}.\\]

解答：问题2017S04解答

 

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问题2017S05：设$A$为$n$阶方阵,证明:若下列条件之一成立,则矩阵方程$AX+XA=X$只有零解.

(1) $A$为幂零阵,即存在正整数$m$,使得$A^m=0;$
(2) $A$中所有元素都为$1;$
(3) $A$的特征值全为偶数;
(4) $A$中所有特征值的模长都小于$\\dfrac 12.$

解答：问题2017S05解答

 

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 问题2017S06：证明: 实对称阵有完全的特征向量系, 从而可对角化.

解答：详见实对称阵可对角化的几种证明.

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 问题2017S07：设$A,B,AB$都是$n$阶实对称阵, 证明: 若$s$是$AB$的一个特征值, 则存在$A$的特征值$\\lambda_0$和$B$的特征值$\\mu_0$, 使得$s=\\lambda_0\\mu_0$.

解答：问题2017S07解答

 

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问题2017S08：设$n$阶实方阵$A=\\begin{pmatrix} a_1 & 1 & & & & \\\\ 1 & a_2 & 1 & & & \\\\ & 1 & a_3 & 1 & & \\\\ & & \\ddots & \\ddots & \\ddots & \\\\ & & & 1 & a_{n-1} & 1 \\\\ & & & & 1 & a_n \\end{pmatrix}$

(1)求证: $A$有$n$个互不相同的特征值;
(2)试求实线性空间$C(A)=\\{B\\in M_n(\\mathbb{R})\\mid AB=BA\\}$的维数.

解答：问题2017S08解答

 

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问题2017S09:在谢老师的博文思考题九的七种解答中已经给出了十分详细的讨论,我这里就偷一个懒了,哈哈.有空再补出我自己的证明.

 

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问题2017S10：设$V$是数域$\\mathbb{K}$上的$n$维线性空间,$\\varphi$是$V$上的线性变换,证明：$\\varphi$的极小多项式在$\\mathbb{K}$上不可约的充分必要条件是对于任意$\\varphi$的不变子空间$\\varphi$,存在$\\varphi$的不变子空间$W$,使得$V = U \\oplus W$

解答：问题2017S10解答

 

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问题2017S11：设$f(z)$是收敛半径为$+\\infty$的复幂级数.$A \\in M_n(\\mathbb{C})$,$g(\\lambda) = \\det(f(\\lambda)I_n-f(A))$,证明:$g(A)=0$

解答：问题2017S11解答

 

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问题2017S12： 设$A$为$n$阶正定对称阵,$B$为$n$阶实方阵,使得$\\begin{pmatrix}  A & B\' \\\\ B & A^{-1} \\end{pmatrix}$为半正定阵.证明$B$的特征值都落在复平面内的单位圆内.

解答：问题2017S12解答

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问题2017S13： 设$AB$均为$n$阶半正定实对称阵,满足$\\mathrm{tr}(AB)=0$.求证$AB=0$

解答：问题2017S13解答

 

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问题2017S14：设$a_1,\\cdots,a_n$是$n$个互异的正实数,试用两种方法证明:$n$阶实对称阵$A=(a_{ij})$是正定阵,其中$\\displaystyle a_{ij}=\\frac{1}{a_i+a_j}$

解答：问题2017S14解答

 

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问题2017S15：设$A$为$n$阶正定实对称阵,$x = (x_1,\\cdots,x_n)\',f(x) = x\'Ax$为对应的实二次型.设去掉的第$i$行和第$i$列后的主子阵为$A_i.$证明:$f(x)$在$x_i=1$的条件下的最小值为$\\dfrac{|A|}{|A_i|}$

解答：问题2017S15解答

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问题2017S16：设$A$为$n$阶实对称阵,证明:$A$为正定阵(半正定阵)的充要条件是

\\[ c_r=\\sum_{1\\leq i_1<i_2<\\cdots<i_r\\leq n}A\\begin{pmatrix}i_1\\,\\,i_2\\,\\,\\cdots\\,\\,i_r \\\\i_1\\,\\,i_2\\,\\,\\cdots\\,\\,i_r \\end{pmatrix}>0\\,\\,(\\geq 0),\\,\\,\\,\\,r=1,2,\\cdots,n. \\]

解答：问题2017S16解答

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问题2017S17：设 $A$为 $n$阶正定实对称阵,$\\alpha,\\beta$是$n$维实列向量,证明:$(\\alpha\'\\beta)^2\\leq(\\alpha\'A\\alpha)(\\beta\'A^{-1}\\beta)$, 等号成立当且仅当$A\\alpha$与$\\beta$成比例.

解答：问题2017S17解答

 

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问题2017S18: 设$A$为$n$阶复矩阵, $\\lambda_1\\leq\\cdots\\leq\\lambda_n$是 $-\\dfrac{\\mathrm{i}}{2}(A-\\overline{A}\')$的全体特征值, 证明:对$A$的任一特征值 $\\lambda$,有$\\lambda_1\\leq\\mathrm{Im\\,}\\lambda\\leq\\lambda_n$.

解答：问题2017S18解答

 

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转眼间一学期就结束了，高等代数的学习告一段落。思考题还是陪伴我度过了这学期的美好时光。接下来，就要向着后续课程前进了。

But the soil must be cultivated, and the season favourable, for the friuts to have all its spirit and flavor.

 

最后留下LaTeX源码：

思考题LaTeX源码

 

 

 

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