洛谷P1445

Posted 2020-09-04

继续洛谷刷水日常，突然遇到一道不是很水的题目……

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1445

题意：给定n(1<=n<=1000000)，求方程1/x+1/y=1/n!的正整数解的个数。

思考了5min后，就去看题解了……

Qrc：这也太弱了……

【思路】

原方程可变形为：

xy/(x+y)=n!

xy-(x+y)n!=0，配方后，得：

(x-n!)(y-n!)=(n!)^2

所以求出(n!)^2的因数个数即可，又由于因数定理（正整数的因数个数等于其所有质因数幂次+1的乘积），只要求出其质因数及幂次即可

又：(n!)^2的每个质因数的幂次都是n!的质因数的2倍

同理，n!的质因数幂次是1~n每个数质因数幂次的“和”

所以对1~n中所有数求出质因数及幂次即可

先筛出1~n中所有的质数

再对每一个质数判断，1~n中，它作为质因数出现了几次？

下面贴上代码：

 1 #include<cstdio>
 2 const int M=1e9+7;
 3 int n,primes[5000001],num=0,Ans=1;
 4 bool isntprime[10000001]={1,1};
 5 void prime1(){//线性筛法
 6     for(int i=2;i<=n;++i){
 7         if(!isntprime[i])primes[++num]=i;
 8         for(int j=1;j<=num&&i*primes[j]<=n;++j){
 9             isntprime[i*primes[j]]=1;
10             if(!(i%primes[j]))break;
11         }
12     }
13 }
14 int main(){
15     scanf("%d",&n);
16     prime1();
17     for(int i=1;i<=num;++i){
18         int prime=primes[i],c=0;
19         for(long long j=prime;j<=n;j*=prime)
20             c+=n/j;//必须对prime的若干次幂都进行一遍，这样不会漏掉包含其多次幂的数
21         Ans=1ll*Ans*(c*2+1)%M;
22     }
23     printf("%d",Ans);
24     return 0;
25 }