Hackerrank manasa-and-combinatorics(数学推导)

Posted 2020-09-04 人活着就是为了Chelly

题意：有n个字符A，2n个字符B，问你能用这3n个字母组成多少种字符串，使得组成的字符串所有前缀与后缀的B的数目都大于等于A的数目，对答案mod 99991

分析：类似卡特兰数

　　　ans=总方案数-存在前缀不满足-存在后缀不满足+存在前缀后缀同时不满足

　　　考虑前缀不满足，那么说明在某个第一个奇数位2m+1，之前有m+1个A，m个B，后面3n-2m-1个位置上有n-m-1个A和2n-m个B

　　　如果把后面的A和B同时取反，那么就是n-m-1个B和2n-m个A，总共就是n-1个B和2n+1个A

　　　我们考虑一个长度为3n的序列，其中有n-1个B，2n+1个A，那么一种这样的序列必定对应原问题的一个不合法序列

　　　所以对于存在前缀不满足的，ans1=C(3n,n-1)

　　　同理，后缀是等价的，ans2=C(3n,n-1)

　　　对于前缀和后缀同时不存在的，同时头尾考虑两个奇数位，将中间的数取反，答案是C(3n,n-2)

　　　所以最后结果ans=C(3n,n)-2*C(3n,n-1)+C(3n,n-2)

　　　顺便提一下，这是卡特兰数证明的思路