跟锦数学2017年01月

Posted 2020-09-04 张祖锦的数学博客

(170131) 设 $u$ 为 $n$ 维欧氏空间 $\bbR^5$ 中的单位向量, 定义 $T_u(x)=x-2\sef{x,u}u$. 现设 $\al,\be$ 是 $\bbR^5$ 中线性无关的两个单位向量, 问当 $\al,\be$ 满足什么条件时, 存在正整数 $k$ 使得 $(T_\al T_\be)^k$ 为单位映射. 

 

(170130) 试建立 $[0,1]$ 到 $(0,1)$ 之间的一一对应. 

 

(170129) 试证: $$\bex 2\arctan x+\arcsin \f{2x}{1+x^2}=\pi,\quad x>1. \eex$$ 

 

(170128) 设 $X$ 是 Banach 空间, $f$ 是 $X^2$ 到 $X$ 的双线性映射. 若 $$\bex \exists\ 0<\al<\f{1}{4\sen{f}},\quad \sen{f} =\sup_{\sen{u},\sen{v}\leq 1} \sen{f(u,v)}, \eex$$ 则 $$\bex \forall\ a\in B(0,\al),\ \exists\ |\ x\in B(0,2\al),\st x=a+f(x,x). \eex$$ 

 

(170127) Liu Y, Zhang P. On the global well-posedness of 3-D axi-symmetric Navier-Stokes system with small swirl component[J]. arXiv preprint arXiv:1702.06279, 2017. (已打印)

 

(170126) 单调函数的不连续点集是可数集.

 

(170125) 设 $f$ 在 $(a,b)$ 上单增, 试证: 对 $\forall\ x\in (a,b)$, $$\bex f(x-0)=\sup_{y<x}f(y),\quad f(x+0)=\inf_{y>x}f(y) \eex$$ 存在.

 

(170124) 好了歌: 世人都晓神仙好, 惟有功名忘不了! 古今将相在何方? 荒冢一堆草没了. 世人都晓神仙好, 只有金银忘不了! 终朝只恨聚无多, 及到多时眼闭了. 世人都晓神仙好, 只有娇妻忘不了! 君生日日说恩情, 君死又随人去了. 世人都晓神仙好, 只有儿孙忘不了! 痴心父母古来多, 孝顺儿孙谁见了? (曹雪芹《红楼梦》)

 

(170123) 会意:家 $\to$ 冢. 注意这一点的位置.

 

(170122) 他年我若为青帝, 报与桃花一处开. (黄巢)

 

(170121) 直道相思了无益, 未妨惆怅是清狂. (李商隐)

 

(170120) 桃李春风一杯酒, 江湖夜雨十年灯. (黄庭坚)

 

(170119) 春风绿江岸, 万里快行船. 大江流日夜, 奔梦天地宽. (坤宁)

 

(170118) Chen, Qionglei; Miao, Changxing. Existence theorem and blow-up criterion of the strong solutions to the two-fluid MHD equation in $\Bbb R^3$. J. Differential Equations 239 (2007), no. 1, 251--271. (已打印)

 

(170117) Tran, Chuong V.; Yu, Xinwei. Note on Prodi-Serrin-Ladyzhenskaya type regularity criteria for the Navier-Stokes equations. J. Math. Phys. 58 (2017), no. 1, 011501, 10 pp. (已打印)

 

(170116) Ru, Shaolei; Chen, Jiecheng. Global solution of the 3D incompressible Navier–Stokes equations in the Besov spaces $\dot{R}_{r_1,r_2,r_3}^{\sigma,1}$. Z. Angew. Math. Phys. 68 (2017), no. 2, 68:30. (已打印)

 

(170115) 已知 $A$ 为三阶实正交矩阵, $\det A=1$. 试证: 存在正交矩阵 $P$, 使得 $$\bex P^tAP=\sexm{ 1&0&0\\ 0&\cos\tt&-\sin\tt\\ 0&\sin\tt&\cos\tt }, \eex$$ 其中 $$\bex \cos\tt=\frac{a_{11}+a_{22}+a_{33}-1}{2}. \eex$$

 

(170114) Fan, Jishan; Ahmad, Bashir; Hayat, Tasawar; Zhou, Yong. On blow-up criteria for a new Hall-MHD system. Appl. Math. Comput. 274 (2016), 20--24.

 

(170113) Zhou, Yong. Regularity criteria in terms of pressure for the 3-D Navier-Stokes equations in a generic domain. Math. Ann. 328 (2004), no. 1-2, 173--192.

 

(170112) Caffarelli, L.; Kohn, R.; Nirenberg, L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), no. 6, 771--831.

 

(170111) Stein, E. M. Note on singular integrals. Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 250--254.

 

(170110) 设 $f(x),g(x)$ 分别是 $m$ 次和 $n$ 次多项式, 其中 $m>0,n>0$. 证明: (1) 存在次数低于 $n$ 的多项式 $u(x)$ 与次数低于 $m$ 的多项式 $v(x)$ 使得 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=res(f(x),g(x))$; (2) $(f(x),g(x))=1$ 当且仅当 $res(f(x),g(x))\neq 0$. 这里, 对任意的多项式 $$\bex f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \eex$$ $$\bex g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0, \eex$$ 我们定义 $f(x),g(x)$ 的结式 $res(f(x),g(x))$ 为由两多项式系数形成的 Sylvester 矩阵 $A$ 的行列式, 其中 ($f$ 的系数有 $m$ 行, $g$ 的系数有 $n$ 行) $$\bex A=\sexm{ a_n&a_{n-1}&\cdots&a_1&a_0&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&a_n&a_{n-1}&\cdots&a_1&a_0\\ b_m&b_{m-1}&\cdots&b_1&b_0&&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&&\\ &&b_m&b_{m-1}&\cdots&b_1&b_0 }, \eex$$

 

(170109) Zhou, Yong. Weighted regularity criteria for the three-dimensional Navier-Stokes equations. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 139 (2009), no. 3, 661--671.

 

(170108) 设 $$\bex \lim_{x\to 0}f(x)=0,\quad \lim_{x\to 0}\f{f(2x)-f(x)}{x}=0. \eex$$ 试证: $$\bex \lim_{x\to 0}\f{f(x)}{x}=0. \eex$$

 

(170107) 设 $\al>0$, 试证: $\dps{\vlmp{x}\f{\ln x}{x^\al}=0}$.

 

(170106) 设 $f:(-a,a)\bs \sed{0}\to (0,+\infty)$ 满足 $$\bex \lim_{x\to 0}\sez{f(x)+\f{1}{f(x)}}=2. \eex$$ 试证: $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)=1}$.

 

(170105) 设 $A,B$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵, 满足 $A^tB+B^tA=0$. 试证: $$\bex \r(A+B)\geq \max\sed{\r(A),\r(B)}. \eex$$

 

(170104) 设 $A,B$ 是 $n$ 阶实半正定矩阵, 试证: $$\bex \r(A+B)=\r\sex{A\atop B}=\r(A,B). \eex$$

 

(170103) 设 $A$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵, 试证: $$\bex \r(A)=\r(A^tA)=\r(AA^t). \eex$$

 

(170102) 设 $A$ 是数域 $\bbF$ 上的 $n$ 阶反对称矩阵, $\al$ 是 $n$ 维列向量. 若 $n$ 是偶数, 试证: $$\bex |A+x\al \al^t|=|A|. \eex$$

 

(170101) 设 $A$ 是数域 $\bbF$ 上的 $n$ 阶反对称矩阵. 若 $n$ 是奇数, 试证: $|A|=0$.