初等函数——幂函数（Power Function）

Posted 2020-09-04 若离相惜

　　幂函数（Power function）是形如f(x)=x^a的函数，a∈R是实数。即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

性质

　　幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内。

1. 取正值

　　当α>0时，幂函数y=x^α有下列性质：

　　a、图像都经过点（1,1）(0,0）；

　　b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

　　c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0；

2. 取负值

　　当α<0时，幂函数y=x^α有下列性质：

　　a、图像都通过点（1,1）；

　　b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；

　　c、在第一象限内，有两条渐近线（即坐标轴），自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

3. 取零

　　当α=0时，幂函数y=x^a有下列性质：

　　a、y=x⁰的图像是直线y=1去掉一点（0,1）。它的图像不是直线。

 

定义域和值域

　　幂函数的一般形式是y=x?，其中，n可为任何实数，但我们仅考虑n为有理数的情形，这时可表示为y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互质。特别，当k=1时为整数指数幂。

　　(1)当m，k都为正奇数时，如y=x，y=x3，y=x^(3/5)等，定义域、值域均为R，为奇函数；

　　(2)当m为负奇数，k为正奇数时，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x3，y=x^(-3/5)等，定义域、值域均为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，为奇函数；

　　(3)当m为正奇数，k为正偶数时，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定义域、值域均为[0，+∞)，为非奇非偶函数；

　　(4)当m为负奇数，k为正偶数时，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定义域、值域均为(0，+∞)，为非奇非偶函数；

　　(5)当m为正偶数，k为正奇数时，如y=x2，y=x^(2/3)等，定义域为R、值域为[0，+∞)，为偶函数；

　　(6)当m为负偶数，k为正奇数时，如y=x^(-2)=1/x2，y=x^(-2/3)等，定义域为{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域为(0，+∞)，为偶函数。

 

由于x大于0是对α的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到：

（1）所有的图像都通过（1， 1）；（a≠0，a>0）时，图像过点（0, 0）和（1， 1）

（2）单调区间：

当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增；

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增；

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：

①当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

②当α>0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递增；

③当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

④当α<0，分母为奇数时，函数在第一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）；

（3）当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；

当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。

当α<0时，图像为双曲线。

（4）在（0,1）上，幂函数中α越大，函数图像越靠近x轴；在（1，﹢∞）上幂函数中α越大，函数图像越远离x轴。

（5）当α<0时，α越小，图形倾斜程度越大。

（6）显然幂函数无界限。

（7）α=2n（n为整数）,该函数为偶函数 {x|x≠0}。