初等函数——幂函数(Power Function)

Posted 若离相惜

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了初等函数——幂函数(Power Function)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

  幂函数(Power function)是形如f(x)=xa的函数,a∈R是实数。即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。

性质

  幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内。

1. 取正值

  当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:

  a、图像都经过点(1,1)(0,0);

  b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

  c、在第一象限内,α>1时,导数值逐渐增大;α=1时,导数为常数;0<α<1时,导数值逐渐减小,趋近于0;

2. 取负值

  当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:

  a、图像都通过点(1,1);

  b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;

  c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。

3. 取零

  当α=0时,幂函数y=xa有下列性质:

  a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

 

定义域和值域

  幂函数的一般形式是y=x?,其中,n可为任何实数,但我们仅考虑n为有理数的情形,这时可表示为y=x^(m/k),其中m∈Z,k∈N*,且m,k互质。特别,当k=1时为整数指数幂。

  (1)当m,k都为正奇数时,如y=x,y=x3,y=x^(3/5)等,定义域、值域均为R,为奇函数;

  (2)当m为负奇数,k为正奇数时,如y=x^(-1)=1/x,y=x^(-3)=1/x3,y=x^(-3/5)等,定义域、值域均为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),为奇函数;

  (3)当m为正奇数,k为正偶数时,如y=x^(1/2),y=x^(3/4)等,定义域、值域均为[0,+∞),为非奇非偶函数;

  (4)当m为负奇数,k为正偶数时,如y=x^(-1/2),y=x^(-3/4)等,定义域、值域均为(0,+∞),为非奇非偶函数;

  (5)当m为正偶数,k为正奇数时,如y=x2,y=x^(2/3)等,定义域为R、值域为[0,+∞),为偶函数;

  (6)当m为负偶数,k为正奇数时,如y=x^(-2)=1/x2,y=x^(-2/3)等,定义域为{x∈R|x≠0},也就是(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(0,+∞),为偶函数。

 

由于x大于0是对α的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在各象限的各自情况。可以看到:

(1)所有的图像都通过(1, 1);(a≠0,a>0)时,图像过点(0, 0)和(1, 1)

(2)单调区间:
当α为整数时,α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性:
①当α为正奇数时,图像在定义域为R内单调递增;
②当α为正偶数时,图像在定义域为第二象限内单调递减,在第一象限内单调递增;
③当α为负奇数时,图像在第一三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
④当α为负偶数时,图像在第二象限上单调递增,在第一象限内单调递减。

当α为分数时,α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性:

①当α>0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递增;

②当α>0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递增;
③当α<0,分母为偶数时,函数在第一象限内单调递减;
④当α<0,分母为奇数时,函数在第一、三象限各象限内单调递减(但不能说在定义域R内单调递减);
(3)当α>1时,幂函数图形下凹(竖抛);
当0<α<1时,幂函数图形上凸(横抛)。
当α<0时,图像为双曲线。
(4)在(0,1)上,幂函数中α越大,函数图像越靠近x轴;在(1,﹢∞)上幂函数中α越大,函数图像越远离x轴。
(5)当α<0时,α越小,图形倾斜程度越大。
(6)显然幂函数无界限。
(7)α=2n(n为整数),该函数为偶函数 {x|x≠0}。

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