[BZOJ4767]两双手

Posted 2020-09-03 xjr_01

[BZOJ4767]两双手

试题描述

老W是个棋艺高超的棋手，他最喜欢的棋子是马，更具体地，他更加喜欢马所行走的方式。老W下棋时觉得无聊，便决定加强马所行走的方式，更具体地，他有两双手，其中一双手能让马从(u,v)移动到(u+Ax,v+Ay)而另一双手能让马从(u,v)移动到(u+Bx,v+By)。小W看见老W的下棋方式，觉得非常有趣，他开始思考一个问题：假设棋盘是个无限大的二维平面，一开始马在原点(0,0)上，若用老W的两种方式进行移动，他有多少种不同的移动方法到达点(Ex,Ey)呢？两种移动方法不同当且仅当移动步数不同或某一步所到达的点不同。老W听了这个问题，觉得还不够有趣，他在平面上又设立了n个禁止点，表示马不能走到这些点上，现在他们想知道，这种情况下马有多少种不同的移动方法呢？答案数可能很大，你只要告诉他们答案模(10^9+7)的值就行。

输入

第一行三个整数Ex,Ey,n分别表示马的目标点坐标与禁止点数目。

第二行四个整数Ax,Ay,Bx,By分别表示两种单步移动的方法，保证Ax*By-Ay*Bx≠0

接下来n行每行两个整数Sxi,Syi，表示一个禁止点。

|Ax|,|Ay|,|Bx|,|By| <= 500, 0 <= n,Ex,Ey <= 500

输出

仅一行一个整数，表示所求的答案。

输入示例

4 4 1
0 1 1 0
2 3

输出示例

40

数据规模及约定

见“输入”

题解

容斥原理 + dp。。。感觉自己对这套理论不是很熟悉。。。

最开始时先把坐标转化一下，就是对于每个向量 p 解一个方程 p = x · a + y · b。

先把点按照坐标 (x, y) 字典序排序，设 f(i) 表示到达第 i 个点并且不经过任何其他点的方案数，那么转移时可以枚举最先碰到的点然后容斥。具体来说，最开始假设不考虑任何点那么方案数就是 C(x_i + y_i, x_i)，若最先碰到的点为 j，那么被容斥掉的方案数就是 f(j) · C(x_i - x_j + y_i - y_j, x_i - x_j)，然后对于所有的 j 都减掉这样多余的方案数就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 510
#define maxl 500010
#define MOD 1000000007
#define LL long long

struct Vec {
	int x, y;
	
	Vec() {}
	Vec(int _, int __): x(_), y(__) {}
	
	int operator ^ (const Vec& t) const { return x * t.y - y * t.x; }
	
	bool operator < (const Vec& t) const { return x != t.x ? x < t.x : y < t.y; }
} A, B, ps[maxn], End, sol[maxn];
Vec trans(Vec a, Vec b, Vec p) {
	if((p ^ b) % (a ^ b)) return Vec(-233, -233);
	int x = (p ^ b) / (a ^ b);
	if(!b.x || (p.x - a.x * x) % b.x) {
		if(!b.y || (p.y - a.y * x) % b.y) return Vec(-233, -233);
		return Vec(x, (p.y - a.y * x) / b.y);
	}
	return Vec(x, (p.x - a.x * x) / b.x);
}

int n, cnt;

void gcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y) {
	if(!b){ x = 1; y = 0; return ; }
	gcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x;
	return ;
}
LL Inv(LL a) {
	LL x, y;
	gcd(a, MOD, x, y);
	return (x % MOD + MOD) % MOD;
}

LL fact[maxl], ifact[maxl];
void init() {
	fact[0] = 1;
	for(int i = 1; i < maxl; i++) fact[i] = fact[i-1] * i % MOD;
	ifact[0] = 1;
	for(int i = 1; i < maxl; i++) ifact[i] = ifact[i-1] * Inv(i) % MOD;
	return ;
}
LL C(int a, int b) {
	return (fact[a] * ifact[a-b] % MOD) * ifact[b] % MOD;
}

LL f[maxn];

int main() {
	End.x = read(); End.y = read(); n = read();
	A.x = read(); A.y = read(); B.x = read(); B.y = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) ps[i].x = read(), ps[i].y = read();
	
	End = trans(A, B, End);
	if(End.x < 0 || End.y < 0) return puts("0"), 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		ps[i] = trans(A, B, ps[i]);
		if(ps[i].x >= 0 && ps[i].y >= 0) sol[++cnt] = ps[i];
	}
	sort(sol + 1, sol + cnt + 1);
	
	init();
	sol[++cnt] = End;
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) {
		f[i] = C(sol[i].x + sol[i].y, sol[i].x);
		LL sum = 0;
		for(int j = 1; j < i; j++) if(sol[j].x <= sol[i].x && sol[j].y <= sol[i].y)
			(sum += f[j] * C(sol[i].x + sol[i].y - sol[j].x - sol[j].y, sol[i].x - sol[j].x) % MOD) %= MOD;
		f[i] = (f[i] - sum + MOD) % MOD;
	}
	
	printf("%lld\n", f[cnt]);
	
	return 0;
}