BZOJ 2595: [Wc2008]游览计划 [DP 状压 斯坦纳树 spfa]学习笔记

Posted 2020-09-03 Candy?

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题意：略

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论文 《SPFA算法的优化及应用》

http://www.cnblogs.com/lazycal/p/bzoj-2595.html

本题的核心就是求斯坦纳树：

Steiner Tree:

Given an undirected graph with non-negative edge weights and a subset of vertices, usually referred to as terminals, 

the Steiner tree problem in graphs requires a tree of minimum weight that contains all terminals (but may include additional vertices). 

也就是对于给定的点集求一颗包含他的最小生成树(可以包含额外的点)

$ST$是$NPC$问题，规模小的情况可以使用状压$DP$解决

 

$f[i][s]$表示根在$i$，连通的点集为$s$的(仅包括给定点集中的点)的最小花费

有两种转移：

对于点权的情况（边权类似）：

$f[i][s]=min{f[i][s\']+f[i][s-s\']-val[i]}$，划分成两个子集，具有阶段性普通$DP$就可以

$f[i][s]=min{f[i\'][s]+val[i]}$，从一颗树扩展而来，阶段性不明显，但满足三角不等式，使用$spfa$求解

那么过程就很清楚了

• 从小到大枚举集合和点
• 第一种转移枚举子集
• 第二种转移对当前集合使用spfa

 

然后就到黄学长哪里仿写了份模板

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define MP make_pair
#define fir first
#define sec second
typedef long long ll;
const int N=12,S=(1<<10)+5,INF=1e9;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<\'0\'||c>\'9\'){if(c==\'-\')f=-1;c=getchar();}
    while(c>=\'0\'&&c<=\'9\'){x=x*10+c-\'0\';c=getchar();}
    return x*f;
}

int n,m,k,a[N][N];
int f[N][N][S];
struct Path{
    int i,j,s;
    Path(){}
    Path(int a,int b,int c):i(a),j(b),s(c){}
}pre[N][N][S];

queue<pii> q;
bool inq[N][N];
int dx[4]={1,-1,0,0},dy[4]={0,0,1,-1};
void spfa(int s){
    while(!q.empty()){
        int x=q.front().fir,y=q.front().sec;
        inq[x][y]=0;q.pop();
        for(int k=0;k<4;k++){
            int i=x+dx[k],j=y+dy[k];
            if(i<1||i>n||j<1||j>m) continue;
            if(f[i][j][s]>f[x][y][s]+a[i][j]){
                f[i][j][s]=f[x][y][s]+a[i][j];
                pre[i][j][s]=Path(x,y,s);
                if(!inq[i][j])
                    q.push(MP(i,j)),inq[i][j]=1;
            }
        }
    }
}
bool vis[N][N];
void dfs(int x,int y,int s){
    vis[x][y]=1;
    Path t=pre[x][y][s];
    if(t.i==0&&t.j==0) return;
    dfs(t.i , t.j , t.s);
    if(t.i==x && t.j==y) dfs(t.i , t.j , s-t.s);
}
int main(){
    freopen("in","r",stdin);
    n=read();m=read();
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        for(int j=1;j<=m;j++){
            a[i][j]=read();
            if(!a[i][j]) f[i][j][1<<k]=0,k++;
        }

    int All=1<<k;
    for(int sa=0;sa<All;sa++){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++){
                for(int s=sa&(sa-1);s;s=sa&(s-1)){
                    int _=f[i][j][s]+f[i][j][sa-s]-a[i][j];
                    if(_<f[i][j][sa]){
                        f[i][j][sa]=_;
                        pre[i][j][sa]=Path(i,j,s);
                    }
                }
                if(f[i][j][sa]<INF) q.push(MP(i,j)),inq[i][j]=1;
            }
        spfa(sa);
    }

    int x=0,y=0,flag=0;
    for(int i=1;i<=n&&!flag;i++) 
        for(int j=1;j<=m;j++) if(!a[i][j]) {x=i;y=j;flag=1;break;}
    dfs(x,y,All-1);
    printf("%d\\n",f[x][y][All-1]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(a[i][j]==0) putchar(\'x\');
            else if(vis[i][j]) putchar(\'o\');
            else putchar(\'_\');
        }
        puts("");
    }
}