ForeignResearch Rover [DP]

Posted 2020-09-02 BearChild

Research Rover

Time Limit: 25 Sec  Memory Limit: 256 MB

Description

　　

Input

　　

Output

　　仅一行一个整数表示答案。

Sample Input

　　3 3 2 11
　　2 1
　　2 3

Sample Output

　　333333342

　　

HINT

　　

Main idea

　　从(1,1)走到(n,m)，每次可以向右或向下走一步，有K个特殊点，初始有一个权S，每经过一个特殊点S=(S+1)/2，询问到(n,m)的S的期望。

Solution

　　我们显然想到了DP，研究一下题目，发现可以按照到达目标之后S的值分类，显然S的取值只和经过特殊点的个数相关。并且由于每经过一个特殊点，S的值就会/2，那么显然只有log2(S)种取值，所以我们可以去考虑一个O(K^2log(S))的做法。

　　首先，从起点走到终点的总方案数是：，我们可以将终点也当做特殊点，那么就可以令 f[i][j] 表示到了第 i 个目标点，经过 j 个目标点的方案数。

　　那么我们可以考虑容斥：。

　　那么写成表达式也就是：

　　其中：，计算方法显然和计算总方案一样，运用组合数。（组合数计算的时候求一下乘法逆元和阶乘逆元即可）

　　这样的话就可以算出到终点经过 i 个特殊点的方案、乘上对应的S的值、然后计算一下、再乘上总方案的乘法逆元就是答案了。

　　效率就是O(k^2 * log(S))，就可以解决这道题啦。\\(≧▽≦)/

Code

  1 #include<iostream>  
  2 #include<algorithm>  
  3 #include<cstdio>  
  4 #include<cstring>  
  5 #include<cstdlib>  
  6 #include<cmath>  
  7 using namespace std;
  8 typedef long long s64;
  9 const int ONE = 200005;
 10 const int INF = 214783640;
 11 const int MOD = 1e9+7;
 12 
 13 int Mod = MOD;
 14 int n,m,K,S;
 15 int f[ONE][30];
 16 int Jc[ONE],inv[ONE];
 17 int A[30],a_num;
 18 int Up;
 19 
 20 struct power
 21 {
 22         int x,y;
 23 }a[ONE];
 24 
 25 int cmp(const power &a,const power &b)
 26 {
 27         return a.x+a.y < b.x+b.y;
 28 }
 29 
 30 int get()
 31 { 
 32         int res,Q=1;    char c;
 33         while( (c=getchar())<48 || c>57)
 34         if(c==\'-\')Q=-1;
 35         if(Q) res=c-48; 
 36         while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
 37         res=res*10+c-48; 
 38         return res*Q; 
 39 }
 40 
 41 namespace D
 42 {
 43         int Quickpow(int a,int b)
 44         {
 45             int res=1;
 46             while(b)
 47             {
 48                 if(b&1) res=(s64)res*a%MOD;
 49                 a=(s64)a*a%MOD;
 50                 b>>=1;
 51             }
 52             return res;
 53         }
 54     
 55         void Deal_Jc(int k)
 56         {
 57             Jc[0]=1;
 58             for(int i=1;i<=k;i++) Jc[i] = (s64)Jc[i-1]*i%MOD;
 59         }
 60         
 61         void Deal_inv(int k)
 62         {
 63             inv[0]=1;    inv[k] = Quickpow(Jc[k],MOD-2);
 64             for(int i=k-1;i>=1;i--) inv[i] = (s64)inv[i+1]*(i+1)%MOD;
 65         }
 66         
 67         void pre(int k)
 68         {
 69             Deal_Jc(k);    Deal_inv(k);
 70         }
 71 }
 72 int C(int n,int m)
 73 {
 74         return (s64)Jc[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD; 
 75 }
 76  
 77 int ways(int i,int j)
 78 {
 79         return C(a[j].x+a[j].y-a[i].x-a[i].y, a[j].x-a[i].x);
 80 }
 81 
 82 void Moit(int &a)
 83 {
 84         if(a<0) a+=MOD;
 85         if(a>MOD) a-=MOD;
 86 }
 87 
 88 int main()
 89 {
 90         n=get();    m=get();    K=get();    S=get();
 91             
 92         A[0]=S;    for(a_num=1;a_num<=24;a_num++) S=(S+1)/2, A[a_num]=S;
 93         D::pre(n+m);
 94         
 95            for(int i=1;i<=K;i++)
 96         {
 97             a[i].x=get();    a[i].y=get();
 98         }
 99         a[++K].x = n;    a[K].y = m;
100         sort(a+1,a+K+1,cmp);
101         
102         for(int i=1;i<=K;i++)
103         {
104             for(int j=0;j<a_num;j++)
105             {
106                 f[i][j] = C(a[i].x+a[i].y-2,a[i].x-1);
107                 for(int k=1;k<=i-1;k++)
108                 {
109                     if(a[k].x <= a[i].x && a[k].y <= a[i].y)
110                     f[i][j] -= (s64)f[k][j] * ways(k,i) % MOD,
111                     Moit(f[i][j]);
112                 }
113                 
114                 for(int k=0;k<=j-1;k++)
115                     f[i][j] -= f[i][k], Moit(f[i][j]);
116             }
117         }
118         
119         int All = C(n+m-2,n-1);
120         
121         for(int i=0;i<a_num;i++)
122         {
123             Up = (Up + (s64)f[K][i]*A[i]) % MOD;
124             All -= f[K][i]; Moit(All);
125         }
126         
127         Up = Up + All;    Moit(Up);
128         
129         printf("%d",(s64)Up * D::Quickpow(C(n+m-2,n-1),MOD-2) % MOD);
130 }

View Code