欧拉函数

Posted 2020-09-02 FallDream

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧拉函数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

Phi(x)表示小于等于x的数中与x互质的数的个数。

x的质因数是k1,k2… 则Phi(x)=x*(1-1/k)*（1-1/k2）* …

例如Phi(6)=6*(1-1/3)*(1-1/2) =2

1.很显然，一个质数的Phi值等于它-1

2.如果x是质数的话 Phi(x^k)= x^k-x^k/x=x^k-x^(k-1)，因为和这个数不互质的只有x的倍数。

3.欧拉函数是积性函数,如果把x因数分解后x=k1^p1*k2^p2*…*kn^pn

那么Phi(x)=Phi(k1^p1)*Phi(k2^p2)+...+Phi(kn^pn)

这个式子就可以用2中的公式快速计算。

4.假设j是i的质因数

那么i整除j^2时Phi(i)=phi(i/j)*j 因为Phi(i/j)中就已经计算了(1-1/j)

否则i不能整除时j^2时Phi(i)=Phi(i/j)*(j-1) 因为Phi(i/j)中不曾计算(1-1/j)，

计算：1.√n暴力 2.筛法的时候，对质数k都枚举它的倍数x之后phi(x)=phi(x)/k*(k-1)，复杂度是On的

实现：

1.模板题 hdu2824 求∑Phi(x) l<=x<=r l,r<=3000000

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define MAXN 3000000
using namespace std;
ll phi[MAXN+5];
int l,r;
int main()
{
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++) if(phi[i]==i)
    {   phi[i]=i-1;
        for(int j=i<<1;j<=MAXN;j+=i)
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
    }
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)phi[i]+=phi[i-1];
    while(scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF)
       cout<<phi[r]-phi[l-1]<<endl;
    return 0;
}

2.poj2480 Longge‘s problem

题意：求∑gcd(i,N) 1<=i<=N N是int

题解：

对于每个它的因数k,gcd(x,N) 的x的个数为Phi(x/k)，贡献为k*Phi(x/k)，所以可以直接暴力，复杂度大概是√n*因数个数。

那有没有更优秀的做法呢？当然是有的。

设f[n]为题目所求的∑gcd(i,N) 因为gcd是积性函数，又根据一个结论：积性函数求和还是积性函数，所以f(x)也是积性函数。

我们可以把n分解成p1^k1*p2^k2*....*pm^km，则f[n]=f[p1^k1]*...*f[pm^km]

根据f[x]=∑k*Phi(x/k) k|x 我们可以得到:f[p^k]=∑p^i*Phi(P^(k-i)) i=0..k 根据第二点化简一下:

f[p^k]=∑ p^i*(P^(k-i)-P^(k-i-1))(i=1..k)+p^k

　　　 =∑(p^k-P^(k-1))(i=1..k)+p^k

　　　 =(k+1)*p^k-k*p^(k-1)

这样只要直接因数分解就能非常快的算出答案，最后把所有的f值乘起来就可以了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 100000
#define ll long long
using namespace std;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
    return x*f;
}

int n,cnt=0;
ll ans=1;
int s[MAXN+5];
bool b[MAXN+5];

int pow(int x,int p)
{
    int sum=1;
    for(int i=x;p;p>>=1,i*=i)if(p&1)sum=sum*i;
    return sum;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!b[i])s[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&s[j]*i<=MAXN;j++)
        {
            b[s[j]*i]=1;
            if(i%s[j]==0)break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        if(n%s[i]==0)
        {
            int num=0;
            while(n%s[i]==0)
            {n/=s[i];num++;}
            ans*=1LL*(num+1)*pow(s[i],num)-1LL*num*pow(s[i],num-1);
        }
    if(n>1)ans*=2*n-1;
    cout<<ans;
    return 0;
}